摘要訊息 : 建立嚴格的實數四則運算體系.

0. 前言

在《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》中, 我們通過分割嚴格地引入了無理數, 把有理數數體擴充到了實數, 並且知道了實數的連續性. 在本節中, 我們將通過定理配合證明的方式, 鞏固中學中所學習的實數的四則運算和實數四則運算的性質. 除此之外, 我們還將引入一個非常重要的不等式 : 絕對值不等式.

更新紀錄 :

• 2022 年 6 月 16 日進行第一次更新和修正.

1. 實數的和

定理 1. 設有兩個實數 \alpha 和 \beta, 任取有理數 a, a', b 與 b', 使得其滿足 \displaystyle {a < \alpha < a', b < \beta < b'}. 所謂數 \alpha 與 \beta 之和 \alpha + \beta 是這樣一個實數 \gamma, 它介於所有形如 a + b 和 a' + b' 的中間 : \displaystyle {a + b < \gamma < a' + b'}.

證明 :

首先我們要證明這樣的數 \gamma 確實存在. 由描述可知 \displaystyle {a + b < a' + b'}. 考慮一切可能的 a + b 的集合 \left \{ a + b \right \} 的上界, 即 \displaystyle {\gamma = \sup \left \{ a + b \right \}}. 於是, a + b \leq \gamma 且 \gamma \leq a' + b'. 對於等號, 我們只需要適當加大 a 與 b, 適當減小 a' 與 b', 則有 \displaystyle {a + b < \gamma < a' + b'}. 故數 \gamma 存在. 接下來我們需要證實 \alpha + \beta 由 \gamma 唯一確定, 即 \displaystyle {\alpha + \beta = \gamma}.

現在, 加強 a, b, a' 與 b' 所要滿足的要求, 使得 a' - a < \varepsilon' 且 b' - b < \varepsilon' 成立. 其中, \varepsilon' 是任意小的正數. 於是有 \displaystyle {(a' + b') - (a + b) < 2\varepsilon'}. 取 \varepsilon = \frac {\varepsilon'}{2}, 則 \displaystyle {(a' + b') - (a + b) < \varepsilon}, 而 \varepsilon 可以任意小, 於是由《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》中的引理 2 可知, \gamma 是唯一的. 於是 \displaystyle {\alpha + \beta = \gamma}.

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對於實數來說, 加法的所有基本性質仍然可以保持 :

1. \alpha + \beta = \beta + \alpha;
2. (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma);
3. \alpha + 0 = \alpha;
4. 若 \alpha > \beta, 則 \alpha + \gamma > \beta + \gamma.

2. 相反數與絕對值

定理 2. 對於任一無理數 \alpha, 存在一個相反數 -\alpha 使得 \alpha + (-\alpha) = 0.

證明:

設 \alpha 由分割 A|A' 所定義. 把一切有理數 a' \in A' 取反得到 -a', 並且歸入下組 \bar {A} 中; 將一切有理數 a \in A 取反得到 -a, 歸入上組 \bar {A'}. 於是, \bar {A}|\bar {A'} 構成了一個新的分割, 並且定義了 -\alpha.

任取 a \in A, a' \in A', 有 \displaystyle {a < \alpha < a', a' < -\alpha < a}. 另外, a' - a > 0, a - a' < 0, 即 \displaystyle {a - a' < 0 < a' - a}. 根據定理 1, 自然有 \displaystyle {\alpha + (-\alpha) = 0}.

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實數的相反數同樣也保持了如下性質 :

1. -(-\alpha) = \alpha;
2. -(\alpha + \beta) = (-\alpha) + (-\beta).

利用相反數, 我們可以將減法看作加法的逆運算, 從而解決實數中的減法問題. 所謂 \alpha 和 \beta 之差 \alpha - \beta 滿足 \displaystyle {\gamma + \beta = \alpha \text { 或 } \beta + \gamma = \alpha} 的數 \gamma. 事實上, 對於 \gamma = \alpha - \beta, 即 \gamma = \alpha + (-\beta), 根據定理 1 和定理 2, 我們有 \displaystyle {\gamma + \beta = \big ( \alpha + (-\beta) \big ) + \beta = \alpha + \big ( (-\beta) + \beta \big ) = \alpha + \big ( \beta + (-\beta) \big ) = \alpha + 0 = \alpha}.

根據實數的加法和性質 4, 我們有 \displaystyle {\alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta > 0 \Leftrightarrow -\beta > -\alpha}.

從相反數, 我們可以推出 : 當 \alpha > 0, 則 -\alpha < 0; 當 \alpha < 0, 則 -\alpha > 0. 換句話說, 只要 \alpha \neq 0, 則 \alpha 和 -\alpha 中有且唯有一個大於零的數, 亦即 \alpha 和 -\alpha 號數相異. 對於數 \alpha 與 -\alpha 的絕對值, 我們使用記號 \left | \alpha \right | 和 \left | -\alpha \right | 來表示, 並且有 \displaystyle {\left | \alpha \right | = \left | -\alpha \right |}. 同時, 我們規定 \left | 0 \right | = 0.

我們確認, 不等式 \left | \alpha \right | < \beta (其中自然蘊含著 \beta > 0) 與二重不等式 -\beta < \alpha < \beta 是等價的. 事實上, 不論對於 \alpha > 0 還是 \alpha < 0, 都有 \displaystyle {\alpha < \beta \text { 且 } -\alpha < \beta}, 即 \alpha < \beta 且 \alpha > -\beta.

定理 3. (絕對值不等式, 三角不等式.) \big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha \pm \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |.

證明 :

顯然地, 我們有 \displaystyle {-\left | \alpha \right | \leq \alpha \leq \left | \alpha \right |, -\left | \beta \right | \leq \beta \leq \left | \beta \right |}. 逐項相加, 可得 \displaystyle {-(\left | \alpha \right | + \left | \beta \right |) \leq \alpha + \beta \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}.

取 a = \alpha + \beta, b = \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |. 於是, -b \leq a \leq b, 即 \left | a \right | \leq b, 亦即 \displaystyle {\left | \alpha + \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}. 對 \beta 取反, 則有 -\left | \beta \right | \leq -\beta \leq \left | \beta \right |. 那麼, \displaystyle {-(\left | \alpha \right | + \left | \beta \right |) \leq \alpha + (-\beta) = \alpha - \beta \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}. 於是有 \displaystyle {\left | \alpha - \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}. 總體可證不等式右側 \displaystyle {\left | \alpha \pm \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}.

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另外, \left | \alpha \right | = \big | (\alpha + \beta) - \beta \big |, \left | \beta \right | = \big | (\alpha + \beta) - \alpha \big |, 故 \displaystyle {\left | \alpha \right | \leq \left | \alpha + \beta \right | + \beta, \left | \beta \right | \leq \left | \alpha + \beta \right | + \left | \alpha \right |}. 移項可得 \displaystyle {\left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq \left | \alpha + \beta \right |, \left | \beta \right | - \left | \alpha \right | \leq \left | \alpha + \beta \right |}. 對上述第二個不等式, 兩側取反可得 \displaystyle {\left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \geq -\left | \alpha + \beta \right |}. 因此有 \displaystyle {-\left | \alpha + \beta \right | \leq \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq \left | \alpha + \beta \right |}. 最終, \displaystyle {\big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha + \beta \right |}. 類似地, \left | \alpha \right | = \big | (\alpha - \beta) + \beta \big | \leq \left | \alpha - \beta \right | + \left | \beta \right |, \left | \beta \right | = \big | (\beta - \alpha) + \alpha \big | \leq \left | \beta - \alpha \right | + \left | \alpha \right |. 移項可得 \displaystyle {\left | \alpha - \beta \right | \leq \left | \alpha - \beta \right |, \left | \beta \right | - \left | \alpha \right | \leq \left | \beta - \alpha \right |}. 對於 |\beta - \alpha|, 我們有 \displaystyle {\left | \beta - \alpha \right | = \big | -(\alpha - \beta) \big | = \left | \alpha - \beta \right |}. 那麼自然有 \left | \beta \right | - \left | \alpha \right | \leq \left | \alpha - \beta \right |, 不等式兩側取反有 \displaystyle {\left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \geq -\left | \alpha - \beta \right |}. 所以, \displaystyle {-\left | \alpha - \beta \right | \leq \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq \left | \alpha - \beta \right |}. 最終也有 \displaystyle {\big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha - \beta \right |}.

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綜上所述, \big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha \pm \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |

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特別地, 當 \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq 0 時, \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq \big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha \pm \beta \right |; 而當 \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \geq 0 時, \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | = \big | \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \big | \leq \left | \alpha \pm \beta \right |. 因此, 通常我們會將絕對值不等式簡單地寫為 \displaystyle {\left | \alpha \right | - \left | \beta \right | \leq \left | \alpha \pm \beta \right | \leq \left | \alpha \right | + \left | \beta \right |}.

絕對值不等式在幾何上和三角形有關, 這也是它同時也被稱為三角不等式的原因.

推論 1. (多變數絕對值不等式) 設 \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} 為 n 個實數, 則有 \displaystyle {\big | \left | \alpha_{1} \right | - \left | \alpha_{2} \right | - ... - \left | \alpha_{n} \right | \big | \leq \left | \alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{n} \right | \leq \left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right |}.

證明 :

我們利用歸納法進行證明. 當 n = 1 時, \left | \alpha_{1} \right | \leq \left | \alpha_{1} \right | \leq \left | \alpha_{1} \right | 必定成立;

當 n = 2 時, 多變數絕對值不等式退化為絕對值不等式, 因此也成立;

不妨假設當 n \leq k 時, 多變數絕對值不等式成立;

當 n = k + 1 時, 一方面, \displaystyle {\begin {aligned} \big | (\alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{k}) \pm \alpha_{k + 1} \big | &\leq \left | \alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{k} \right | + \left | \alpha_{k + 1} \right | \\ &\geq \left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{k} \right | + \left | \alpha_{k + 1} \right |; \end {aligned}} 另一方面, \displaystyle {\begin {aligned} \big | (\alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{k}) \pm \alpha_{k + 1} \big | &\geq \big | \left | \alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{k} \right | - \left | \alpha_{k + 1} \right | \big | \\ &\geq \big | \left | \alpha_{1} \right | - \left | \alpha_{2} \right | - ... - \left | \alpha_{k} \right | - \left | \alpha_{k + 1} \right | \big |. \end {aligned}} 故當 n = k + 1 時, 仍然有 \big | \left | \alpha_{1} \right | - \left | \alpha_{2} \right | - ... - \left | \alpha_{n} \right | \big | \leq \left | \alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{n} \right | \leq \left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right |.

綜上所述, \big | \left | \alpha_{1} \right | - \left | \alpha_{2} \right | - ... - \left | \alpha_{n} \right | \big | \leq \left | \alpha_{1} \pm \alpha_{2} \pm ... \alpha_{n} \right | \leq \left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right | 成立.

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3. 實數的積

定理 4. 設 \alpha 與 \beta 是兩個正實數. 任取有理數 a, a', b 與 b', 使得其滿足 \displaystyle {a < \alpha < a', b < \beta < b'}. 所謂 \alpha 與 \beta 之積 \alpha \times \beta = \alpha \cdot \beta = \alpha\beta 是這樣一個實數 \gamma, 它介於一切形如 ab 與 a'b' 之間 : \displaystyle {ab < \gamma < a'b'}.

證明 :

首先, 我們仍然需要證明 \gamma 存在. 取一切可能的 ab 的集合 \left \{ ab \right \}, 令 \gamma = \sup \left \{ ab \right \}, 那麼自然有 ab \leq \gamma, 同時也有 \gamma \leq a'b'. 類似於 \alpha + \beta, 只需要適當加大 a 與 b, 並且適當減小 a' 與 b', 就能取消等號. 故數 \gamma 存在.

接著, 我們要證明 \gamma 的唯一性, 即 \displaystyle {ab = \gamma}. 和 \alpha + \beta 類似, 在原本的條件上加大 a 和 b, 減小 a' 與 b', 使得 \displaystyle {a' - a < \varepsilon'\ \text {且}\ b' - b < \varepsilon'} 成立. 其中, \varepsilon' 是任意小的正數. 而 \displaystyle {\begin {aligned} a'b' - ab &= a'b' - ab + a'b - a'b \\ &= a'(b' - b) + b(a' - a) \\ &\leq a'\varepsilon' + b\varepsilon' = (a' + b)\varepsilon' < ({a_{0}}' + {b_{0}}')\varepsilon' \end {aligned}}. 其中, {a_{0}}' 和 {b_{0}}' 略大於 a' 與 b'. 任取 0 < \varepsilon < ({a_{0}}' + {b_{0}}')\varepsilon', 便有 \displaystyle {a'b' - ab < \varepsilon}. 顯然, \varepsilon 可以任意小. 由《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》中的引理 2, 有 \displaystyle {\alpha\beta = \gamma}.

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為了推廣定理 4, 使得定理 4 中的 \alpha 和 \beta 是任意實數 (不一定是正數), 我們規定 :

1. \alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0;
2. 若 \alpha \neq 0 且 \beta \neq 0, 則 \displaystyle {\alpha \cdot \beta = \begin {cases} \left | \alpha \right | \cdot \left | \beta \right | & {\alpha \text { 與 } \beta \text { 號數相同}} \\ -\left | \alpha \right | \cdot \left | \beta \right | & {\alpha \text { 與 } \beta \text { 號數不相同}}. \end {cases}}

實數的積仍然可以保持以下性質 :

1. \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha;
2. (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma);
3. \alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha;
4. (\alpha + \beta) \cdot \gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma;
5. 若 \alpha > \beta 且 \gamma > 0, 則 \alpha\gamma > \beta\gamma.

對於實數 \alpha 與 \beta 之商 \frac {\alpha}{\beta} 是這樣的數 \gamma, 其滿足 \displaystyle {\gamma \cdot \beta = \alpha\ \text {或}\ \beta \cdot \gamma = \alpha}. 其中, \beta \neq 0. 不過, 我們同樣可以使用建立 \alpha + \beta 或者 \alpha \cdot \beta 的形式來建立實數之商 :

定理 5. 設 \alpha 和 \beta 是兩個正實數. 任取有理數 a, a', b 與 b', 使得其滿足 \displaystyle {a < \alpha < a', b < \beta < b', b' - b < \varepsilon'}. 其中, \varepsilon' 是任意小的實數, b \neq 0, b' \neq 0. 所謂 \alpha 與 \beta 之商 \frac {\alpha}{\beta} 是這樣的一個實數 \gamma, 它介於形如 \frac {a}{b} 與 \frac {a'}{b'} 之間 : \displaystyle {\frac {a}{b} < \gamma < \frac {a'}{b'}}.

證明 :

對於 \gamma 的存在性, 取一切可能的 \frac {a}{b} 的集合 \left \{ \frac {a}{b} \right \}, 令 \gamma = \sup \left \{ \frac {a}{b} \right \}. 則有 \frac {a}{b} \leq \gamma, 又有 \gamma \leq \frac {a'}{b'}. 我們保持 b 和 b' 不變, 適當加大 a, 適當縮小 a' (又或者保持 a 和 a' 不變, 適當加大 b', 適當縮小 b'), 即可取消等號. 故數 \gamma 存在.

對於唯一性, 即 \displaystyle {\frac {\alpha}{\beta} = \gamma}, 保持 b 與 b' 不變, 加大 a 並且減小 a', 使得 \displaystyle {a' - a < \varepsilon'}. 考慮 \displaystyle {\begin {aligned} \frac {a'}{b'} - \frac {a}{b} &= \frac {a'b - ab'}{bb'} = \frac {a'b - ab' + ab - ab}{bb'} \\ &= \frac {b(a' - a)- a(b' - b)}{bb'} = \frac {(b - a)\varepsilon'}{bb'} \\ &= \frac {k\varepsilon}{bb'} < \frac {k'\varepsilon'}{bb'}. \end {aligned}}

其中, k = |b - a|, k' 時略大於 k 的數, 即適當增加 a 和 b 之間的距離. 任取正數 \varepsilon < \frac {k'\varepsilon'}{bb'}, 便有 \displaystyle {\frac {a'}{b'} - \frac {a}{b} < \varepsilon}. 由於 \varepsilon 可以任意小, 於是 \displaystyle {\frac {\alpha}{\beta} = \gamma}.

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我們規定 :

1. 若 \beta \neq 0, 則 \displaystyle {\frac {0}{\beta} = 0}, 無論 \beta 是一個怎樣的實數;
2. 若 \alpha \neq 0 且 \beta \neq 0, 則 \displaystyle {\frac {\alpha}{\beta} = \begin {cases} \frac {\left | \alpha \right |}{\left | \beta \right |} & {\alpha \text { 與 }\ \beta \text { 號數相同}} \\ -\frac {\left | \alpha \right |}{\left | \beta \right |} & {\alpha \text { 與 } \beta \text { 號數不相同}}. \end {cases}}

此時, \alpha = \beta \cdot \gamma 或者 \alpha = \gamma \cdot \beta 仍然成立.