摘要訊息 : 一些數學分析中重要的函數.

0. 導論

我們在《【數學分析】單變數函數——函數概念》中定義了什麼叫做函數, 本節我們會介紹數學分析中的幾類重要函數. 在後續的學習中, 幾乎所有函數都是以這幾類重要函數通過加減乘除及其變換而得到的.

1. 有理整函數和有理分式函數

由 $x$ 的多項式 $\displaystyle {y = a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n - 1} + ... + a^{n}x + a_{0}}$ 所表示的函數稱為有理函數 (rational function). 其中, $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ 與 $a_{0}$ 都為常數.

兩個關於 $x$ 的多項式之比 $\displaystyle {y = \frac {a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n - 1} + ... + a^{n}x + a_{0}}{b_{1}x_{m} + b_{2}x_{m - 1} + ... + b_{m}x + b_{0}}}$ 稱為有理分式函數 (rational fractional function). 其中, $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, a_{0}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}$ 與 $b_{0}$ 都為常數. 除此之外, 我們還要求 $b_{1}x_{m} + b_{2}x_{m - 1} + ... + b_{m}x + b_{0} \neq 0$.

2. 冪函數

我們稱 $\displaystyle {y = x^{\mu}}$ 為冪函數 (power function). 其中, $\mu$ 為任意實數且 $\mu$ 為常數. 冪函數對 $x$ 的定義域市有限制的 :

• 當 $\mu$ 為有理數且 $\mu \neq 0$ 時, $\mu$ 可以表示為 $\displaystyle {\mu = (-1)^{k}\frac {p}{q}}.$ 其中, $k$ 為整數, $\frac {p}{q}$ 是既約的. 特別地, 當 $q = 1$ 時, $y = x^{\mu}$ 為有理整函數,
  • 當 $k$ 為偶數時,
    • 當 $p$ 和 $q$ 都為奇數時, $x \in \mathbb {R}$, $y \in \mathbb {R}$, 此時冪函數為奇函數;
    • 當 $p$ 為奇數, $q$ 為偶數時, $x \in [0, +\infty)$, $y \in [0, +\infty)$;
    • 當 $p$ 為偶數, $q$ 為奇數時, $x \in \mathbb {R}$, $y \in [0, +\infty)$, 此時冪函數為偶函數.
  • 當 $k$ 為奇數時,
    • 當 $p$ 和 $q$ 都為奇數時, $x \in \mathbb {R} \setminus \left \{ 0 \right \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, $y \in \mathbb {R} \setminus \left \{ 0 \right \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, 此時冪函數為奇函數;
    • 當 $p$ 為奇數, $q$ 為偶數時, $x \in (0, +\infty)$, $y \in (0, +\infty)$;
    • 當 $p$ 為偶數, $q$ 為奇數時, $x \in \mathbb {R} \setminus \left \{ 0 \right \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, $y \in (0, +\infty)$, 此時冪函數為偶函數.
• 當 $\mu$ 為無理數時,
  • 當 $\mu > 0$ 時, $x \in [0, +\infty)$, $y \in [0, +\infty)$;
  • 當 $\mu < 0$ 時, $x \in (0, +\infty)$, $y \in (0, +\infty)$.
• 當 $\mu = 0$ 時, $y \equiv 1$. 但是 $0^{0}$ 沒有意義, 因此它有定義域的限制, $x$ 的定義域為 $\mathbb {R} \setminus \left \{ 0 \right \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

特殊地, 當 $\mu$ 為整數的時候, 我們可以得到有理函數; 當 $\mu$ 為分數時, 我們得到根式.

3. 指數函數

我們稱 $\displaystyle {y = a^{x}}$ 為指數函數 (exponential function). 其中, $a > 0$ 且 $a \neq 1$. 其定義域為 $x \in \mathbb {R}$, 值域為 $y \in (0, +\infty)$.

4. 對數函數

我們稱 $\displaystyle {y = \log_{a}{x}}$ 為對數函數 (logarithm function). 其中, $a > 0$ 且 $a \neq 1$. 特別地, 當 $a = 10$ 時, 可以簡略地寫為 $\displaystyle {y = \log {x}};$ 當 $a = e$ 時, 可以簡略地寫為 $\displaystyle {y = \ln {x}}.$ 對數函數的定義域為 $x \in (0, +\infty)$, 值域為 $y \in \mathbb {R}$.

5. 三角函數

我們稱 $\displaystyle {y = \sin {x}, y = \cos {x}}$ 為三角函數 (trigonometric function). 其中, $y = \sin {x}$ 稱為正弦函數 (sine function), $y = \cos {x}$ 稱為餘弦函數 (cosine function). 三角函數定義域為 $x \in \mathbb {R}$, 值域為 $y \in [0, 1]$. 在三角函數的使用中, 我們總是將 $x$ 看作弧度制的角度, 除非有特殊標注的情況 (例如 $\sin {1^{\circ}}$).

還有一些三角函數是正弦函數和餘弦函數的衍生, 但我們仍然將它們歸入三角函數基本類別 : $\displaystyle {\begin {aligned} &y = \tan {x} = \frac {\sin {x}}{\cos {x}}, y = \cot {x} = \frac {\cos {x}}{\sin {x}}, \\ &y = \sec {x} = \frac {1}{\cos {x}}, y = \csc {x} = \frac {1}{\sin {x}}. \end {aligned}}$ 我們稱 $y = \tan {x}$ 為正切函數 (tangent function), 稱 $y = \cot {x}$ 為餘切函數 (cotangent function),  稱 $y = \sec {x}$ 為正割函數 (secant function), 稱 $y = \csc {x}$ 為餘割函數 (cosecant function). 其中, $y = \tan {x}$ 和 $y = \sec {x}$ 的定義域為 $x \in \left \{ x : x \neq (2k + 1)\frac {\pi}{2}, k \in \mathbb {Z} \right \}$, 值域為 $y \in \mathbb {R}$; $y = \cot {x}$ 和 $y = \csc {x}$ 的定義域為 $x \in \left \{ x : x \neq k\pi, k \in \mathbb {Z} \right \}$, 值域為 $y \in \mathbb {R}$.

6. 反函數

在引入反三角函數之前, 我們首先引入反函數的概念.

假定在某一變域 $\mathscr {X}$ 內給定了函數 $y = f(x)$, 並且設 $\mathscr {Y}$ 是這個函數當 $x$ 在變域 $\mathscr {X}$ 的範圍內變化時所取一切值的集合, 即 $y$ 的值域. 在變域 $\mathscr {Y}$ 內選取任一數值 $y = y_{0}$, 於是在變域 $\mathscr {X}$ 內一定能求得這樣的一個數值 $x = x_{0}$, 使得函數在 $x_{0}$ 處恰好取得 $y_{0}$ 值, 即 $\displaystyle {f(x_{0}) = y_{0}}.$ 然而, 這樣的 $x_{0}$ 並不一定是唯一的, 可能出現多個. 因此, 對應於 $\mathscr {Y}$ 中的每一個數值 $y$ 可以有一個或者多個 $x$ 的數值. 這樣就在變域 $\mathscr {Y}$ 內對應地確定出單值或者多值的函數 $\displaystyle {x = f^{-1}(y) = g(y)},$ 我們稱之其為函數 $y = f(x)$ 的反函數 (inverse function).

例題 1. 冪函數 $y = x^{\mu}$ 的反函數.

$解$ :

當 $\mu = 0$ 時, $y \equiv 1$. 此時, $x \in \mathbb {R} \setminus \left \{ 0 \right \}$. 任取 $y$, 有無窮多個 $x$ 與之對應. 因此, 當 $\mu = 0$ 時, $y = x^{\mu}$ 的反函數為多值函數 $y = 1\ (x \neq 0)$.

當 $\mu \neq 0$ 時, 不論 $\mu$ 的正負或者是否為有理數, 在變域 $\mathscr {Y}$ 中任取 $y$, 由根的存在性可知, 在變域 $\mathscr {X}$ 中有且唯有一個 $x$ 與之對應. 此時, 反函數 $x = \sqrt[\mu] {y}$ 為單值函數.

綜上所述, 當 $\mu \neq 0$ 時, $y = x^{\mu}$ 的反函數為 $x = \sqrt[\mu] {y}$.

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例題 2. 指數函數 $y = a^{x}$ 的反函數. 其中, $a > 0$ 且 $a \neq 1$.

$解$ :

對於函數 $y = a^{x}$, 變數 $x$ 在變域 $(-\infty, +\infty)$ 上變化, $y$ 的值佈滿了區間 $\mathscr {Y} = (0, +\infty)$. 由對數的存在性可知, 每一個 $y$ 僅對應了一個 $x$. 因此在 $\mathscr {X}$ 上, 有一個確定的單值反函數 $\displaystyle {x = \log_{a}{y}}.$

$\blacksquare$

例題 2'. 對數函數 $y = \log_{a}{x}$ 的反函數. 其中, $a > 0$ 且 $a \neq 1$.

$解$ :

對於函數 $y = \log_{a}{x}$, 變數 $x$ 在變域 $(0, +\infty)$ 上變化, $y$ 的值佈滿了區間 $\mathscr {Y} = (-infty, +\infty)$. 由實數的乘冪可知, 每一個 $y$ 僅對應了一個 $x$. 因此在 $\mathscr {X}$ 上, 有一個確定的單值反函數 $\displaystyle {x = a^{y}}.$

$\blacksquare$

通過例題 2 和例題 2', 我們發現指數函數和對數函數恰好互為反函數.

通過函數的圖形, 我們可以簡單地判斷 $y = f(x)$ 的反函數 $x = f^{-1}(y)$ 是否為單值函數. 在 $\mathscr {Y}$ 內任意選取一個 $y_{0}$, 然後作 $y = y_{0}$ 這條直線. 若對於任意的 $y$, 直線 $y = y_{0}$ 和函數 $y = f(x)$ 的交點總不超過一個, 那麼其反函數就是單值的 :

否則, $x = f^{-1}(y)$ 就是多值的 :

若 $x = g(y)$ 是函數 $y = f(x)$ 的反函數, 則這兩個函數的圖形是一致的. 為了使得 $x = g(y)$ 和 $y = f(x)$ 的圖形重合, 只需要保持 $y = f(x)$ 不變, 對於 $x = g(y)$, 令 $x$ 替代 $y$ 得到 $y = g(x)$. 這樣, 由於 $x$ 軸和 $y$ 軸的重合, 便使得函數的圖形重合. 若不適用這種方法, 只需要讓函數的圖形繞著平面 $xOy$ (第一象限) 的角平分線, 即直線 $y = x$ 旋轉 $180^{\circ}$ 即可使得函數 $y = f(x)$ 及其反函數 $x = f(y)$ 的圖形重合.

7. 反三角函數

7.1 反正弦函數

現在考慮正弦函數 $y = \sin {x}$ 的反函數. 我們從中學中已經了解到了正弦函數的週期性, 因此對於變數 $x$ 在變域 $\mathscr {X} = (-\infty, +\infty)$ 中的變化, $y$ 的值佈滿了 $\mathscr {Y} = [-1, 1]$. 任取 $y \in \mathscr {Y}$, 必定存在無窮多個 $x$ 與之對應. 所以, $y = \sin {x}$ 的反函數並非單值函數. 我們記函數 $y = \sin {x}$ 的反函數為 $\displaystyle {y = \mathop {\mathrm {Arcsin}}{x}},$ 並且稱其為反正弦函數 (arc-sine function).

但是如果僅考慮 $x \in [\frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2}]$ 這一分支, 那麼任取 $y \in [-1, 1]$, 存在唯一的 $x$ 與之對應. 此時, 其反函數上單值的, 我們記為 $y = \displaystyle {\arcsin {x}},$ 並且用它來表示反正弦函數的主值. 對正弦函數繞第一象限的角平分線翻轉, 我們便可以得到多值函數 $y = \mathop {\mathrm {Arcsin}}{x}$ 的圖形.

對於函數 $y = \mathop {\mathrm {Arcsin}}{x}$ 的主值, 顯然有 $\displaystyle {-\frac {\pi}{2} \leq \arcsin {x} \leq \frac {\pi}{2}}.$ 結合中學中所學的知識, 不難得到 $\displaystyle {\mathop {\mathrm {Arcsin}}{x} = \arcsin {x} + 2k\pi = (2k + 1)\pi - \arcsin {x}}.$ 其中, $k \in \mathbb {Z}$.

7.2 反餘弦函數

類似地, $y = \cos {x}$ 的反函數為 $\displaystyle {y = \mathop {\mathrm {Arccos}}{x}},$ 其主值函數為 $\displaystyle {y = \arccos {x}},$ 稱其為反餘弦函數 (arc-cosine function).

對於 $y = \arccos {x}$, 我們有 $\displaystyle {0 \leq \arccos {x} \leq \pi}.$ 另外, $y = \mathop {\mathrm {Arccos}}{x}$ 也可以用以下方式來表達 : $\displaystyle {\mathop {\mathrm {Arccos}}{x} = 2k\pi \pm \arccos {x}}.$ 其中, $k \in \mathbb {Z}$.

恆等式 1. $\arcsin {x} + \arccos {x} = \frac {\pi}{2}$.

$證明$ :

要證明 $\arcsin {x} + \arccos {x} = \frac {\pi}{2}$, 實際上就是要證明 $\arcsin {x} = \frac {\pi}{2} - \arccos {x}$.

首先考慮 $\arcsin {x}$, 顯然有 $\displaystyle {\sin(\arcsin {x}) \equiv x}.$ 再考慮 $\frac {\pi}{2} - \arccos {x}$, 利用三角恆等變換, 有 $\displaystyle {\begin {aligned} \sin \left ( \frac {\pi}{2} - \arccos {x} \right ) &= \sin {\frac {\pi}{2}} \cdot \cos(\arccos {x}) - \cos {\frac {\pi}{2}} \cdot \sin(\arccos {x}) \\ &= \cos(\arccos {x}) \\ &= x. \end {aligned}}$ 故 $\arcsin {x} = \frac {\pi}{2} - \arccos {x}$, 即 $\arcsin {x} + \arccos {x} = \frac {\pi}{2}$.

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7.3 反正切函數

對於函數 $y = \tan {x}$, $x$ 在變域 $\mathscr {X} = \left \{ x : x \neq (2k + 1)\frac {\pi}{2} \right \}, k \in \mathbb {Z} \}$ 中變化, $y$ 的值取遍 $\mathscr {Y} = (-\infty, +\infty)$. 對於任意 $y$, 仍然有無窮多個 $x$ 與之對應. 因此, $y = \tan {x}$ 的反函數 $\displaystyle {y = \mathop {\mathrm {Arctan}}{x}}$ 不是單值的. 我們稱 $y = \arctan {x}$ 為反正切函數 (arc-tangent function).

我們取 $\displaystyle {-\frac {\pi}{2} < \mathop {\mathrm {Arctan}}{x}} < \frac {\pi}{2}$ 作為函數 $y = \mathop {\mathrm {Arctan}}{x}$ 的主值, 記為 $\displaystyle {y = \arctan {x}}$. 同樣地, 我們有 $\displaystyle {\mathop {\mathrm {Arctan}}{x} = \arctan {x} + k\pi}.$ 其中, $k \in \mathbb {Z}$.

恆等式 2. 對於 $x \in \mathbb {R}$, 有 $\arctan {x} = \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$.

$證明$ :

令 $\alpha = \arctan {x}$, 則有 $x = \tan {\alpha}$.

考慮 $\arctan {x}$, 有 $\displaystyle {\arctan} {x} = \arctan(\tan {x}) = \alpha.$ 再考慮 $\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$, 有 $\displaystyle {\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}} = \arcsin {\frac {\tan {\alpha}}{\sqrt {1 + \tan^{2}{\alpha}}}}}.$

對 $\sin^{2}{\alpha} + \cos^{2}{\alpha} = 1$ 兩側同時除以 $\frac {1}{\cos^{2}{\alpha}}$, 有 $\displaystyle {\tan^{2}{\alpha} + 1 = \frac {1}{\cos^{2}{\alpha}}}.$ 變換可得 $\cos {\alpha} = \frac {1}{\sqrt {1 + \tan^{2}{\alpha}}}$, 而 $\frac {\sin {\alpha}}{\cos {\alpha}} = \tan {\alpha}$, 故 $\displaystyle {\sin {\alpha} = \tan {\alpha} \cdot \cos {\alpha} = \frac {\tan^{2}{\alpha}}{\sqrt {1 + \tan^{2}{\alpha}}}}.$ 這樣, 便有 $\displaystyle {\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}} = \arcsin {\frac {\tan {\alpha}}{\sqrt {1 + \tan^{2}{\alpha}}}} = \arcsin(\sin {\alpha}) = \alpha}.$

綜上所述, $\arctan {x} = \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$ 成立.

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恆等式 3. 對於 $x \in (0, 1)$, 有 $\arcsin {x} = \arctan {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$.

$證明$ :

令 $\alpha = \arcsin {x}$, 則 $x = \sin {\alpha}$.

對於左側, 有 $\displaystyle {\arcsin {x} = \arcsin(\sin {\alpha}) = \alpha}$. 對於右側, 有 $\displaystyle {\arctan {\frac {x}{\sqrt {1 - x^{2}}}} = \arctan {\frac {\sin {\alpha}}{\sqrt {1 - \sin^{2}{\alpha}}}} = \arctan {\frac {\sin {\alpha}}{\cos {\alpha}}} = \arctan(\tan {\alpha}) = \alpha}.$

綜上所述, $\arcsin {x} = \arctan {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$ 成立.

$\blacksquare$

7.4 反餘切函數

函數 $y = \cot {x}$ 的反函數可以表示為 $\displaystyle {y = \mathop {\mathrm {Arccot}}{x}},$ 稱其為反餘切函數 (arc-cotangent function). 其主值函數為 $\displaystyle {\mathop {y = \mathrm {arccot}}{x}}$ 且有 $\displaystyle {0 < \mathop {\mathrm {arccot}}{x} < \pi}$. 反餘切函數的多值函數也可以由其主值函數來表示 : $\displaystyle {\mathop {\mathrm {Arccot}}{x} = \mathop {\mathrm {arccot}}{x} + k\pi}.$ 其中, $k \in \mathbb {Z}$.

恆等式 4. $\arctan {x} + \mathop {\mathrm {arccot}}{x} = \frac {\pi}{2}$.

$證明$ :

令 $x = \tan {\alpha}$, 則 $\alpha = \arctan {x}$.

考慮 $\arctan {x}$, 有 $\displaystyle {\arctan {x} = \arctan(\tan {\alpha}) = \alpha}.$ 而  $\tan {\alpha} = \cot \left ( \frac {\pi}{2} - \alpha \right ) = x$, 故 $\displaystyle {\mathop {\mathrm {arccot}}{x} = \mathop {\mathrm {arccot}} \left ( \cot \left ( \frac {\pi}{2} - \alpha \right ) \right ) = \frac {\pi}{2} - \alpha}.$

綜上所述, $\arctan {x} + \mathop {\mathrm {arccot}}{x} = \frac {\pi}{2}$ 成立.

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7.5 反正割函數和反餘割函數

函數 $y = \sec {x}$ 與 $y = \csc {x}$ 的多值反函數為 $y = \mathop {\mathrm {Arcsec}}{x}$ 和 $y = \mathop {\mathrm {Arccsc}}{x}$, 分別稱為反正割函數 (arc-secant function) 和反餘割函數 (arc-cosecant function). 它們的主值函數分別是 $y = \mathop {\mathrm {arcsec}}{x}$ 和 $y = \mathop {\mathrm {arccsc}}{x}$. 其中, 主值函數滿足變數 $x$ 在變域 $\mathscr {X} = \left \{ x : -\infty < x \leq 1, 1 \leq x < +\infty \right \}$ 內變化. 這些函數的多值函數也可以由主值函數來表示 : $\displaystyle {\mathop {\mathrm {Arcsec}}{x} = \mathop {\mathrm {arcsec}}{x} + 2k\pi, \mathop {\mathrm {Arccsc}}{x} = \mathop {\mathrm {arccsc}}{x} + 2k\pi}.$ 其中, $k \in \mathbb {Z}$.

8. 函數的複合

我們把函數中的變數用另一種函數來替代的行為稱為函數的複合, 得到的新函數稱為複合函數 (compound function). 一般情形下, 假定函數 $z = \varphi(y)$ 在某個區域 $\mathscr {Y} = \left \{ y \right \}$ 中是確定的, 而函數 $y = f(x)$ 對於區域 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 中的 $x$ 是確定的, 且全部值包括在 $\mathscr {Y}$ 中. 於是, 我們說函數 $\displaystyle {z = \varphi \big ( f(x) \big )}$ 是變數 $z$ 通過 $y$ 而稱為 $x$ 的函數. 依照 $\mathscr {X}$ 內給定的 $x$, 首先按照 $f$ 給定的法則求出 $\mathscr {Y}$ 內對應的 $y$ 值, 再按照 $\varphi$ 給定的法則確定 $z$ 值, 它便是所選的 $x$ 值所對應的 $z$ 值. 所得到的函數的函數或者複合函數便是函數 $z = \varphi(y)$ 和 $y = f(x)$ 重疊的結果.

例如, 恆等式 2 中的 $\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}}$ 便可以由 $y = \frac {x}{\sqrt {1 + x^{2}}}$ 和 $z = \arcsin {y}$ 複合而來.

"函數 $y = f(x)$ 的值的集合被包括在 $z = \varphi(y)$ 的定義域 $\mathscr {Y}$ 中" 這一假設極為重要. 若沒有這個假設, 便會出現謬論. 例如, 令 $z = \ln {y}$. 此時, 我們必然要求 $y > 0$. 而我們若假設 $y = \sin {x}$, 則只能考察那些令 $y > 0$ 的 $x$ 值 : $\left \{ x : 2k\pi < x < (2k + 1)\pi, k \in \mathbb {Z} \right \}$; 否則, 解析表達式 $\ln {\sin {x}}$ 會沒有意義.

我們將有理函數, 冪函數, 對數函數, 三角函數和主值形式的反三角函數統稱為有限形式的初等函數 (basic elementary function). 而由這些有限形式的初等函數通過算數四則運算 (加, 減, 乘和除) 與函數的複合而得到的其它函數, 稱為初等函數 (elementary function).

我們可以將初等函數寫為分段定義的函數 (piecewise-defined function, 簡稱分段函數) 的形式. 例如, 對於 $y = x$, 有 $\displaystyle {y = \begin {cases} x & {x > 0;} \\ 0 & {x = 0;} \\ x & {x < 0.} \end {cases}}$ 對於 $y = \left | x \right |$, 有 $\displaystyle {y = \begin {cases} x & {x > 0;} \\ 0 & {x = 0;} \\ -x & {x < 0.} \end {cases}}$ 此時, $y = \left | x \right | = \sqrt {x^{2}}$ 可以由 $y = \sqrt {x}$ 和 $x = t^{2}$ 複合而來. 因此, $y = \left | x \right |$ 是初等函數. 而 $\displaystyle {y = \begin {cases} \sin {x} & {x \leq 0;} \\ \ln {x} & {x > 0.} \end {cases}}$ 便不是初等函數. 因為它不能由任意兩個或者任意多個有限形式的初等函數通過算數四則運算或者函數的複合而來. 之前, 我們曾經在《【數學分析】單變數函數——函數概念》中提到過的人類識別數字的抽象函數 $\displaystyle {y = f(x)}$ 也不是初等函數, 它甚至無法使用具體的解析表達式來表達.

Tip : 當然, 必定存在一些複雜的初等函數 (經過大量的複合和算數四則運算) 可以逼近 $y = f(x)$, 但是目前無法找到一個準確的初等函數來表達 $y = f(x)$.

9. 其它特殊函數

除了上面介紹的所有初等函數之外, 我們還有一些特殊函數需要介紹, 儘管它們在之後數學分析中的應用場景可能不多.

9.1 Dirichlet 函數

我們稱函數 $\displaystyle {\mathop {\mathrm {D}}(x) = \begin {cases} 1 & {x \in \mathbb {Q};} \\ 0 & {x \in \mathbb {Q}} \end {cases}}$ 為 Dirichlet 函數 (Dirichlet function). 我們無法作出它的具體函數圖形.

9.2 取整函數

我們稱 $\displaystyle {y = [x]}$ 為取整函數 (floor function). 其中, $[x]$ 表示取 $x$ 的整數部分. 因此, 對於任意 $x$, 必定有 $\displaystyle {y \in \mathbb {Z}}.$

我們稱 $\displaystyle {y = \left \lfloor x \right \rfloor}$ 為向下取整函數 (floor function), 它和 $y = [x]$ 是等價的.

我們稱 $\displaystyle {y = \left \lceil x \right \rceil}$ 為向上取整函數 (ceil function). 它可以具體由分段函數表示為 $\displaystyle {y = \left \lceil x \right \rceil = \begin {cases} x & {x \in \mathbb {Z};} \\ [x] + 1 & {x \notin \mathbb {Z}.} \end {cases}}$

9.3 符號函數

我們稱 $\displaystyle {y = \mathop {\mathrm {sgn}}{x} = \mathop {\mathrm {sign}}{x} = \begin {cases} 1 & {x > 1;} \\ 0 & {x = 0;} \\ -1 & {x < 0} \end {cases}}$ 為符號函數 (sign function).

9.4 最值函數

我們稱 $\displaystyle {y = \max {\mathscr {X}} = x^{*}}$ 為最大值函數 (maximum function). 其中, 任取 $x \in \mathscr {X}$, 都有 $x \leq x^{*}$ 且 $x^{*} \in \mathscr {X}$; 稱 $\displaystyle {y = \min {\mathscr {X}} = x'}$ 為最小值函數 (minimum function). 其中, 任取 $x \in \mathscr {X}$, 都有 $x \geq x^{*}$ 且 $x^{*} \in \mathscr {X}$.

同時, 最大值函數和最小值函數也可以用於計算函數, 而不僅僅是集合 : $\displaystyle {y = \max {f(x)} = y^{*}, y = \min {f(x)} = y^{\star}}$. 然而, 例如對於 $y = e^{x}$, 當 $x < 0$ 並且 $x$ 越來越小, 那麼從指數函數的圖形上看, $y$ 會越來越接近於零. 然而,  $\min {e^{x}}$ 並不存在, 因為 $y$ 永遠不會等於零. 因此, 我們應該還需要一個廣義的最值函數.

我們稱 $\displaystyle {y = \sup {f(x)} = y^{*}}$ 為最小上界函數 (supremum function). 其中, 任取 $y \in \mathscr {Y}$, 都有 $y \leq y^{*}$; 稱 $\displaystyle {y = \inf {f(x)} = y^{\star}}$ 為最大下界函數 (infimum function). 其中, 任取 $y \in \mathscr {Y}$, 都有 $y \geq y^{*}$.