摘要訊息 : 單變數函數的定義.

0. 導論

我們已經嚴格地在有理數的基礎上建立了實數的概念. 接下來, 我們將要研究函數. 為了便於理解, 我們首先從單變數函數開始. 大家在中學時期基本都學過這些基本概念, 但是為了和數學分析銜接, 函數概念將會更加嚴謹.

1. 變數與常數

在自然及人類的實踐活動中, 我們會遇到許多會變的數量概念, 例如時間, 長度, 體積, 速度和力等等. 每一個量都可能取到一些不同的值, 或者僅僅取一個固定的數值. 對於第一種情況, 涉及了變數 (variable); 而第二種情況則涉及了常數 (constant).

2. 變數的變域

在數學分析中, 只要不談及變數的具體應用或者具體意義, 那麼這個變數就是抽象的, 或者稱為數的變數. 它可以使用任何形如 $x$ 這樣記載數的記號來表示. 如果變數 $x$ 可以取的值的集合為 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$, 則集合 $\mathscr {X}$ 稱為變數 $x$ 的變域 (domain). 一般來說, 任何數的集合都可以作為變域.

常數可以看作變數的特殊情況, 其取值集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 滿足 $\displaystyle {\mathop {\mathrm {card}}{\mathscr {X}} = \mathrm {card} \left \{ x \right \} = 1}.$

在分析中, 一般研究的是連續變化的變數. 因此, 變數通常可以取邊某個變化區間中的所有值. 這個區間, 同時也作為變數的變域. 一般區間以兩個實數 $a$ 與 $b$ 為端點, 它們作為區間的邊界. 一個區間可以包含兩個端點, 也可以不包含兩個端點, 甚至可以只包含兩個端點中的一個. 所以, 我們將區間分為三種 :

1. 閉區間 $[a, b]$ : $a \leq x \leq b$ (兩個區間端點包含在內);
2. 半開區間 $\begin {cases} (a, b] & {a < x \leq b} \\ [a, b) & {a \leq x < b} \end {cases}$ (僅一個端點包含在內);
3. 開區間 $(a, b)$ : $a < x < b$ (沒有一個端點包含在區間內).

我們稱 $b - a$ (或者 $|b - a|$, $|a - b|$) 為區間的長度.

不難理解, 數軸上的線段是區間的集合表示. 除此之外, 按照區間的不同類型, 線段的端點可以歸入線段中, 也可以不歸入線段中 :

例如圖像 1, 我們想要表示的區間是 $[-3, 2)$, 兩個端點只有一個包含在區間之內.

有時, 我們也考慮無窮區間, 即用廣義的數 $+\infty$ 和 $-\infty$ 作為區間的端點. 由於它們是廣義的數, 因此區間不可能包含它們. 因此, 以 $+\infty$ 或者 $-\infty$ 作為端點的必定是半開區間或者開區間. 特殊地, $(-\infty, +\infty)$ 是全體實數的集合, 即 $\mathbb {R} = (-\infty, +\infty)$.

在幾何上, 若以廣義的數作為端點, 則可以用射線或者直線在數軸上表示. 圖像 1 表示了一個由 $-5$ 作為起點的射線.

3. 變數之間的關係

在數學分析中, 我們通常不研究單個變數的獨自變化, 部分變數可能會因為其它變數發生變化而隨之變化, 即不同變數之間的變化存在相依關係. 現在, 我們僅討論兩個變數的情況. 若變數 $x$ 發生變化會導致另一個變數 $y$ 隨著 $x$ 的變化而變化, 那麼我們稱變數 $x$ 為自變數 (independent variable), 稱變數 $y$ 為應變數 (dependent variable).

定義 1. 設具有變域 $\mathscr {X}$ 和 $\mathscr {Y}$ 的兩個變數 $x$ 和 $y$, 其中 $x$ 可以不受任何限制地取邊變域 $\mathscr {X}$ 中的任意值. 如果按照某一法則或者規律, 對於任意 $x \in \mathscr {X}$, 相應地, $\mathscr {Y}$ 中有一個確定的 $y$ 與之對應, 則變數 $y$ 就可以稱為變數 $x$ 的函數.

定義 1 中有兩個要素. 第一, 變數 $x$ 的變域 $\mathscr {X}$, 在函數中又被稱為定義域 (domain); 第二, 確定 $x$ 與 $y$ 之間的對應法則或者規律, 而變數 $y$ 的變域 $\mathscr {Y}$ 在函數中又被稱為值域 (range).

定義 1 中針對函數的定義為某些特殊情況留有空間, 即對於任意 $x \in \mathscr {X}$, 在 $\mathscr {Y}$ 中可以有多個 $y$ 值與之對應 (甚至可以是無窮多個). 這種情況下, 稱函數為多值函數 (multivalued function). 而當 $\mathscr {Y}$ 中有且唯有一個 $y$ 值與之對應的時候, 我們稱函數為單值函數 (uniform function). 在數學分析中, 我們一般從實數變數出發, 從而避免討論多值函數. 今後, 若沒有特殊說明, 當提及函數的時候, 預設這個函數為單值函數.

若我們冠以函數中的法則或者規律以某個名稱或者記號, 則我們可以將函數表示為 $\displaystyle {y = f(x), y = F(x), y = \varphi(x), ...}$ 其中, $f$, $F$ 和 $\varphi$ 等都是對應法則或者規律的名稱或者記號. 若一個變數 $x$ 以不同的法則或者規律與不同的函數像聯繫, 則不能以相同的名稱或者記號標記不同的函數. 有時, 為了方便, 我們會將變數的記號標在應變數之下 : $\displaystyle {y = f(x) \Leftrightarrow y_{x}}.$

如果在考察函數 $y = f(x)$ 時, 我們希望注明並且選取 $x$ 的某個特定值 $x_{0}$, 即 $x = x_{0}$, 相對應的$y$ 的對應特定值我們可以使用記號 $f(x_{0})$ 來表示.

現在重新討論變數數值之間的對應法則或者規律, 它是函數相依關係這個概念的實質. 利用公式來表達這種法則或者規律是最簡單並且最自然的. 公式是以解析表達式的形式來表示函數的 : 為了得到 $y$ 的對應值, 在表達式裡指出了施行於一些常數以及變數的數值所必行進行的那些解析運算. 但是我們並不能認為這是函數的唯一表示方法. 例如, 我們在中學的時候就學過列表法和圖示法. 另外, 還有一些函數可能是解析表達式所無法表達的. 例如, 當人類看到某個數值 $y$ 時 ($y$ 的變域為 $\mathscr {Y} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \}$), 必定存在某個函數 $\displaystyle {y = f(x)}$ 使得不論 $x$ 是什麼字體, 什麼手寫風格, 本質上我們的大腦會對 $x$ 進行某種運算 $f$, 最終識別到的 $y$ 就是某個數字. 而這個對應法則 $y$ 或者函數 $y$ 是我們無法明確地使用解析表達式來表達的, 至少到目前為止不太行. 我們前面提到的用於表示函數的列表法和圖示法不在數學分析的討論範圍內, 因為它們並沒有那麼重要.

Tip : 上一段中提到的手寫識別問題, 目前使用一些複雜系統 (例如神經網絡) 可以大致解決這個問題, 只不過識別的準確率無法到達 100%. 而這些複雜系統就可以系統地使用總體函數 $\displaystyle {y = f(x)}$ 來表示.

4. 定義域與值域

對於某個隨變數 $x$ 而變化的變數 $y$ 來說, 若對其應用定義 1, 則存在某一法則或者規律 $f$ 使得 $\displaystyle {y = f(x)}.$ 我們已經知道, $x$ 的變域 $\mathscr {X}$ 被稱為定義域, $y$ 的變域 $\mathscr {Y}$ 被稱為值域. 在沒有特別指定的情況下, 我們可能會認為 $\mathscr {X} = \mathbb {R}$. 但是考慮表達式 $\frac {1}{x}$, 此時若 $x = 0$, 表達式是沒有意義的. 對於實際問題來說, 若表示時間的變數 $t$ 會引起表示速度的變數 $v$ 的變化, 即 $v = v(t)$, 則當 $t < 0$ 時, 表達式沒有任何意義. 這是表達式本身或者實際問題中隱含著的, 和我們自己給定的變域 $\mathscr {X}$ 是有區別的.

自然地, 若 $\mathscr {X}$ 被實際背景或者解析表達式隱含地限制著, 那麼至於 $\mathscr {Y}$ 也很可能被限制著.

5. 函數的圖形

儘管我們不深入研究圖示法, 但是函數的圖像是最具有直觀性的, 這是解析表達式所不具有的. 因此, 函數的圖形會作為我們研究函數的輔助工具.

設在某一區間 $\mathscr {X}$ 內給定了函數 $y = f(x)$. 我們設想在平面上有兩條相互垂直的座標軸 (或者數軸) : $x$ 軸和 $y$ 軸. 考察相對應的一對 $x$ 與 $y$ 值, 其中 $x \in \mathscr {X}, y = f(x)$. 由於 $x$ 在 $x$ 軸上有唯一確定的點對應, $y$ 在 $y$ 軸上有唯一確定的點對應, 因此這一對值 $(x, y)$, 使得 $x$ 取邊 $\mathscr {X}$ 中的值, 在座標軸上得到的點的全體便是函數 $y = f(x)$ 的圖形, 也是函數的集合形象 :

在 Figure 2 中, 曲線 $AB$ 便是函數 $y = 3x^{3} + 5x^{2} - x - 1$ 的圖形. 同時, 我們也稱 $y = 3x^{3} + 5x^{2} - x - 1$ 是曲線 $AB$ 的方程.

如果使用手繪的方法繪製函數的圖形, 那麼描述越多的點 $M = (x, y)$, 則函數的圖像就越精確. 其中, 存在某一法則 $f$ 使得 $y = f(x)$.

需要注意的是, 並非所有函數都有可繪製的圖形. 例如 Dirichlet 函數 $\displaystyle {\mathrm {D}(x) = \begin {cases} 1 & {x \in \mathbb {Q}} \\ 0 & {x \notin \mathbb {Q}}. \end {cases}}$ 這也是由實數的連續性和《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》中的引理 1 所決定的.

6. 函數的性質

函數具有一些基本性質 : 對稱性, 有界性, 單調性, 奇偶性, 週期性, 連續性和一致連續性. 我們之後會深入研究有界性, 單調性, 連續性和一致連續性, 因此在本小節中, 我們僅研究對稱性, 奇偶性和週期性.

6.1 函數的對稱性

對稱性實際上是針對函數圖形而言的, 一般是函數圖形關於兩個座標軸對稱. 例如函數 $y = x^{2}$ 的圖形關於 $y$ 軸對稱 :

另外, 函數 $x = C$ 關於 $x$ 軸對稱. 其中, $C$ 是任意常數.

還有一種很特殊的對稱. 例如函數 $y = \frac {1}{x}$ 的圖像是關於直線 $y = x$ 對稱的 :

我們稱這種對稱為關於原點 $O$ 對稱.

6.2 函數的奇偶性

定義2. 設函數 $y = f(x)$ 的定義域為 $D_{f}$, 對於任意變數 $x$ 取反後, 仍然保持 $-x \in D_{f}$ 且有 $\displaystyle {f(-x) = f(x)},$ 那麼我們稱函數 $f(x)$ 為偶函數 (even function).

偶函數的圖像是有對稱性的. 所有偶函數的圖像都關於 $y$ 軸對稱, 例如 Figure 3 中的 $y = x^{2}$ 就是一個實例.

定義 3. 設函數 $y = f(x)$ 的定義域為 $D_{f}$, 對於任意變數 $x$ 取反後, 仍然保持 $-x \in D_{f}$ 且有 $\displaystyle {f(-x) = -f(x)},$ 那麼我們稱函數 $f(x)$ 為奇函數 (odd function).

定義 3'. 設函數 $y = f(x)$ 的定義域為 $D_{f}$, 對於任意變數 $x$ 取反後, 仍然保持 $-x \in D_{f}$ 且有 $\displaystyle {-f(-x) = f(x)},$ 那麼我們稱函數 $f(x)$ 為奇函數.

奇函數的圖像同樣具有對稱性. 所有奇函數的圖像都關於原點 $O$ 對稱, 即關於直線 $y = x$ 對稱, 例如 Figure 4 中的 $y = \frac {1}{x}$ 就是一個實例.

6.3 函數的週期性

定義 4. 設函數 $y = f(x)$ 的定義域為 $D_{f}$, 對於任意變數 $x$ 和某一常數 $T$, 有 $x + T \in D_{f}$ 且 $\displaystyle {f(x + T) = f(x)},$ 那麼我們稱函數 $f(x)$ 為週期函數 (periodic function), $T$ 稱為函數 $f(x)$ 的基本週期 (basic period).

顯然, 若 $f(x)$ 是以 $T$ 為基本週期的函數, 且有 $x = z + T, z = u + T$, 則 $x = u + 2T$, 從而有 $\displaystyle {f(x) = f(z + T) = f(z) = f(u + T) = f(u) = f(u + 2T)}.$ 若對於 $x = u + nT$, 仍然可以保持 $\displaystyle {f(x) = f(u + nT) = f(u)}.$ 其中, $n$ 為整數. 也就是說, 任意 $nT$ 都是函數 $f(x)$ 的週期.

我們中學中所學過的三角函數就是典型的週期函數 :

7. 以自然數為變域的函數

到目前為止, 我們僅討論了變域為實數域的函數, 但是對於變數 $x$ 的變域被限制在自然數集合的情況也非常重要. 此時, 我們一般將變數寫為 $n$, 並且用 $x_{n}$ 來替代 $f(n)$. 一般來說, 如果沒有特殊說明, $n$ 不取 $0$. 這也就是大家中學中學習過的數列.

根據定義 1, 我們認為函數 $x_{n}$ 是已知的, 若且唯若任意給定 $n$, $x_{n}$ 都可以被計算. 通常來說, 函數 $x_{n}$ 也由一個解析表達式所給出. 這些表達式僅僅建立在自然數上進行必要的解析計算.

一個簡單的例子. 在中學中, 我們曾經遇到的過無窮序列 : $\displaystyle {a, aq, aq^{2}, ...}$ 便可用 $\displaystyle {x_{n} = aq^{n - 1}}$ 來表示. 序列的前 $n$ 項之和也是一個以自然數為變數的函數 : $\displaystyle {S_{n} = \frac {a -aq^{n}}{1 - q}}.$ 其中, $q \neq 1$.