摘要訊息 : 在已經建立的實數體系上, 繼續完善實數的性質.
0. 前言
我們在《【數學分析】實數——實數的四則運算》 中嚴格地引入了實數的四則運算. 但是實際上, 還有實數的乘冪和對數需要引入之後, 才能夠嚴格地建立實數體系. 除了實數的運算之外, 我們還將介紹線段的測量. 因為沒有嚴格引入實數之前, 有一些線段的長度是無法用有理數或者其它方法表示的.
更新紀錄 :
2022 年 6 月 16 日進行第一次更新和修正.
1. 根的存在性與具有有理指數的乘冪
設 α \alpha α 是任一實數, n n n 為自然數, 所謂數 α \alpha α 的 n n n 次方根是使得 ξ n = α \displaystyle {\xi^{n} = \alpha} ξ n = α 成立的這樣一個實數 ξ \xi ξ .
顯然, 由實數乘法的唯一性可以推得實數乘冪的唯一性. 現在, 我們將所有負有理數, 零及一切使得 x n < α x^{n} < \alpha x n < α 的正有理數 x x x 歸入下組 X X X , 將剩餘有理數 x ′ x' x ′ 歸入上組 X ′ X' X ′ . 不難證實, 我們得到了一個分割 X ∣ X ′ X|X' X ∣ X ′ . 不妨設 X ∣ X ′ X|X' X ∣ X ′ 定義了實數 ξ \xi ξ , 則有以下斷言成立.
斷言 1. 分割 X ∣ X ′ X|X' X ∣ X ′ 定義的實數 ξ \xi ξ 滿足 ξ n = α \xi^{n} = \alpha ξ n = α , 即 ξ = α n \xi = \sqrt [n]{\alpha} ξ = n α .
證明 證明 證 明 :任取正數 x ∈ X x \in X x ∈ X , x ′ ∈ X ′ x' \in X' x ′ ∈ X ′ , 則有 0 < x < ξ < x ′ . \displaystyle {0 < x < \xi < x'}. 0 < x < ξ < x ′ . 由乘法的性質可知, 0 < x n < ξ n < x ′ n ⇔ x n < α < x ′ n . \displaystyle {0 < x^{n} < \xi^{n} < {x'}^{n} \Leftrightarrow x^{n} < \alpha < {x'}^{n}}. 0 < x n < ξ n < x ′ n ⇔ x n < α < x ′ n . 現在, 我們需要考慮 x ′ − x x' - x x ′ − x , 如果它能夠小於任意給定的正數, 那麼斷言便成立. 不妨設 x 0 x_{0} x 0 是稍大於 x ′ x' x ′ 的數, 那麼有 x ′ n − x n = x ′ n − x n + x x ′ n − 1 − x x ′ n − 1 + x 2 x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 x ′ − x n − 1 x ′ = ( x n − 1 x ′ + x n − 2 x ′ 2 + . . . + x x ′ n − 1 + x ′ n ) − ( x n + x ′ x n − 1 + x 2 x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 x ′ + x n ) = x ′ ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) − x ( x n − 1 + x ′ x n − 2 + . . . + x ′ n − 2 x + x ′ n − 1 ) = x ′ ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) − x ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) = ( x ′ − x ) ( x ′ n − 1 + x x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 ) < ε ′ ( x ′ n − 1 + x x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 ) < ε ′ ( x ′ n − 1 + x ′ x ′ n − 2 + . . . + x ′ n − 1 ) < ε ′ ( x 0 n − 1 + x 0 n − 1 + . . . + x 0 n − 1 ⏟ n 個 ) = ε ′ n x 0 n − 1 . \displaystyle {\begin {aligned} {x'}^{n} - x^{n} &= {x'}^{n} - x^{n} + x{x'}^{n - 1} - x{x'}^{n - 1} + x^{2}{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}x' - x^{n - 1}x' \\ &= (x^{n - 1}x' + x^{n - 2}{x'}^{2} + ... + x{x'}^{n - 1} + {x'}^{n}) - \\ &\ \ \ \ \ (x^{n} + x'x^{n - 1} + x^{2}{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}x' + x^{n}) \\ &= x'(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) - \\ &\ \ \ \ \ x(x^{n - 1} + x'x^{n - 2} + ... + {x'}^{n - 2}x + {x'}^{n - 1}) \\ &= x'(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) - \\ &\ \ \ \ \ x(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) \\ &= (x' - x)({x'}^{n - 1} + x{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'({x'}^{n - 1} + x{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'({x'}^{n - 1} + x'{x'}^{n - 2} + ... + {x'}^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'(\underbrace {x_{0}^{n - 1} + x_{0}^{n - 1} + ... + x_{0}^{n - 1}}_{n \text { 個}}) \\ &= \varepsilon'nx_{0}^{n - 1}. \end {aligned}} x ′ n − x n = x ′ n − x n + x x ′ n − 1 − x x ′ n − 1 + x 2 x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 x ′ − x n − 1 x ′ = ( x n − 1 x ′ + x n − 2 x ′ 2 + . . . + x x ′ n − 1 + x ′ n ) − ( x n + x ′ x n − 1 + x 2 x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 x ′ + x n ) = x ′ ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) − x ( x n − 1 + x ′ x n − 2 + . . . + x ′ n − 2 x + x ′ n − 1 ) = x ′ ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) − x ( x n − 1 + x n − 2 x ′ + . . . + x x ′ n − 2 + x ′ n − 1 ) = ( x ′ − x ) ( x ′ n − 1 + x x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 ) < ε ′ ( x ′ n − 1 + x x ′ n − 2 + . . . + x n − 1 ) < ε ′ ( x ′ n − 1 + x ′ x ′ n − 2 + . . . + x ′ n − 1 ) < ε ′ ( n 個 x 0 n − 1 + x 0 n − 1 + . . . + x 0 n − 1 ) = ε ′ n x 0 n − 1 . 其中, ε ′ \varepsilon' ε ′ 是可以任意小的正數. 取 0 < ε < ε ′ n x 0 n − 1 0 < \varepsilon < \varepsilon'nx_{0}^{n - 1} 0 < ε < ε ′ n x 0 n − 1 , 則有 x ′ n − x n < ε . \displaystyle {{x'}^{n} - x^{n} < \varepsilon}. x ′ n − x n < ε . 顯然, ε \varepsilon ε 也可以任意小, 於是, ξ n = α ⇔ ξ = α n . \displaystyle {\xi^{n} = \alpha \Leftrightarrow \xi = \sqrt [n]{\alpha}}. ξ n = α ⇔ ξ = n α .
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對於實數來說, 有理指數乘冪的以下性質仍然成立 :
α r ⋅ α r ′ = α r + r ′ \alpha^{r} \cdot \alpha^{r'} = \alpha^{r + r'} α r ⋅ α r ′ = α r + r ′ ;α r α r ′ = α r − r ′ \frac {\alpha^{r}}{\alpha^{r'}} = \alpha^{r - r'} α r ′ α r = α r − r ′ ;( α r ) r ′ = α r r ′ \left ( \alpha^{r} \right )^{r'} = \alpha^{rr'} ( α r ) r ′ = α r r ′ ;( α β ) r = α r β r (\alpha\beta)^{r} = \alpha^{r}\beta^{r} ( α β ) r = α r β r ;( α β ) r = α r β r \left ( \frac {\alpha}{\beta} \right )^{r} = \frac {\alpha^{r}}{\beta^{r}} ( β α ) r = β r α r .
我們特別指出, 當 α > 1 \alpha > 1 α > 1 時, α r \alpha^{r} α r 隨著指數 r r r 的增大而增大.
2. 實數的乘冪
在本節中, 我們需要把乘冪推廣到實數, 而不僅僅限制於有理數. 我們效仿實數加法的引入方法 : 對於以任意實數 β \beta β 作為指數, 任何正實數 α \alpha α 的乘冪 γ \gamma γ 是這樣一個實數, 對於任意滿足 b < β < b ′ b < \beta < b' b < β < b ′ 的有理數 b b b 和 b ′ b' b ′ , γ \gamma γ 介於 α b \alpha^{b} α b 和 a b ′ a^{b'} a b ′ 之間, 即 α b < γ < α b ′ . \displaystyle {\alpha^{b} < \gamma < \alpha^{b'}}. α b < γ < α b ′ .
斷言 2. γ \gamma γ 存在且唯一.
證明 證明 證 明 :考慮一切 α β \alpha^{\beta} α β 的集合 { α β } \left \{ \alpha^{\beta} \right \} { α β } , 不妨令 γ = sup { α β } \gamma = \sup \left \{ \alpha^{\beta} \right \} γ = sup { α β } . 此時, 我們有 α b ≤ α β ≤ α b ′ \alpha^{b} \leq \alpha^{\beta} \leq \alpha^{b'} α b ≤ α β ≤ α b ′ . 只需要適當加大 b b b , 適當減小 b ′ b' b ′ 即可取消等號. 因此, γ \gamma γ 存在.
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為了證明 γ \gamma γ 的唯一性, 首先考慮 ( λ + 1 ) n = 1 + n λ + n ( n − 1 ) 2 λ 2 + . . . > 1 + n λ . \displaystyle {\begin {aligned} (\lambda + 1)^{n} &= 1 + n\lambda + \frac {n(n - 1)}{2}\lambda^{2} + ... \\ &> 1 + n\lambda. \end {aligned}} ( λ + 1 ) n = 1 + n λ + 2 n ( n − 1 ) λ 2 + . . . > 1 + n λ . 令 γ = λ + 1 \gamma = \lambda + 1 γ = λ + 1 , 則有 γ n = ( λ + 1 ) n > 1 + n λ = 1 + n ( γ − 1 ) . \displaystyle {\gamma^{n} = (\lambda + 1)^{n} > 1 + n\lambda = 1 + n(\gamma - 1)}. γ n = ( λ + 1 ) n > 1 + n λ = 1 + n ( γ − 1 ) . 基於上式, 我們令 γ = α 1 n \gamma = \alpha^{\frac {1}{n}} γ = α n 1 , 於是有 ( α 1 n ) n > 1 + n ( α 1 n − 1 ) . \displaystyle {\left ( \alpha^{\frac {1}{n}} \right )^{n} > 1 + n \left ( \alpha^{\frac {1}{n}} - 1 \right )}. ( α n 1 ) n > 1 + n ( α n 1 − 1 ) . 變換可得 α 1 n − 1 < α − 1 n . ( I ) \displaystyle {\alpha^{\frac {1}{n}} - 1 < \frac {\alpha - 1}{n}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm {I})} α n 1 − 1 < n α − 1 . ( I ) 我們選取 b b b 和 b ′ b' b ′ , 使得對於任意自然數 n n n , 有 b ′ − b < 1 n , \displaystyle {b' - b < \frac {1}{n}}, b ′ − b < n 1 , 並選取 b 0 ′ {b_{0}}' b 0 ′ 使得其略大於 b ′ b' b ′ . 那麼結合式 ( I ) (\mathrm {I}) ( I ) 可以得到 α b ′ − α b = α b ( α b ′ − b − 1 ) < α b ( α 1 n − 1 ) < α b ′ α − 1 n < α b 0 ′ α − 1 n . \displaystyle {\alpha^{b'} - \alpha^{b} = \alpha^{b}\left ( \alpha^{b' - b} - 1 \right ) < \alpha^{b}\left ( \alpha^{\frac {1}{n}} - 1\right ) < \alpha^{b'}\frac {\alpha - 1}{n} < \alpha^{{b_{0}}'}\frac {\alpha - 1}{n}}. α b ′ − α b = α b ( α b ′ − b − 1 ) < α b ( α n 1 − 1 ) < α b ′ n α − 1 < α b 0 ′ n α − 1 . 任取正數 ε \varepsilon ε 滿足 ε < α b 0 ′ α − 1 n \varepsilon < \alpha^{{b_{0}}'}\frac {\alpha - 1}{n} ε < α b 0 ′ n α − 1 . 此時, 只要 n > α b 0 ′ ( α − 1 ) ε n > \frac {\alpha^{{b_{0}}'}(\alpha - 1)}{\varepsilon} n > ε α b 0 ′ ( α − 1 ) , 就有對於任意的 n n n , 都有一個任意小的正數 ε \varepsilon ε 使得 α b ′ − α b < ε \displaystyle {\alpha^{b'} - \alpha^{b} < \varepsilon} α b ′ − α b < ε 成立. 故 α β = γ \alpha^{\beta} = \gamma α β = γ .
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綜上所述, γ \gamma γ 存在且唯一.
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斷言 2 中的證明過程實際上推廣了《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》 中的引理 2 .
推論 1. 設 α \alpha α 和 β \beta β 是兩個任意給定的實數, 若任取 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 , 對於兩個有理數 s ′ s' s ′ 與 s s s (s ′ ≥ s s' \geq s s ′ ≥ s ) 和實數 γ \gamma γ , 總有 α s 1 ≥ α β ≥ α s 且 α s 1 ≥ γ ≥ α s , \displaystyle {\alpha^{s_{1}} \geq \alpha^{\beta} \geq \alpha^{s} \text { 且 } \alpha^{s_{1}} \geq \gamma \geq \alpha^{s}}, α s 1 ≥ α β ≥ α s 且 α s 1 ≥ γ ≥ α s , 則 γ = α β \gamma = \alpha^{\beta} γ = α β . 其中, s ′ − s < ε s' - s < \varepsilon s ′ − s < ε .
3. 對數
在引入對數之前, 我們首先將使得 α b < γ \alpha^{b} < \gamma α b < γ 的有理數 b b b 歸入 B B B 組, 將使得 α b ′ > γ \alpha^{b'} > \gamma α b ′ > γ 的有理數 b ′ b' b ′ 歸入 B ′ B' B ′ 組, 並且假設使得 α r = γ \alpha^{r} = \gamma α r = γ 的有理數 r r r 不存在.
斷言 3. B B B 組和 B ′ B' B ′ 組構成了一個有理數的分割 B ∣ B ′ B|B' B ∣ B ′ .
證明 證明 證 明 :由 α n > 1 + n ( α − 1 ) \alpha^{n} > 1 + n(\alpha - 1) α n > 1 + n ( α − 1 ) 可得 α n > n ( α − 1 ) . \displaystyle {\alpha^{n} > n(\alpha - 1)}. α n > n ( α − 1 ) . 此時, 我們取 n > r α − 1 n > \frac {r}{\alpha - 1} n > α − 1 r , 就有 α n > γ \alpha^{n} > \gamma α n > γ . 這樣的自然數 n ∈ B ′ n \in B' n ∈ B ′ . 同時, α − n ≐ 1 α n < 1 n ( α − 1 ) . \displaystyle {\alpha^{-n} \doteq \frac {1}{\alpha^{n}} < \frac {1}{n(\alpha - 1)}}. α − n ≐ α n 1 < n ( α − 1 ) 1 . 我們只需取 n > 1 γ ( α − 1 ) n > \frac {1}{\gamma(\alpha - 1)} n > γ ( α − 1 ) 1 , 便有 α − n < γ \alpha^{-n} < \gamma α − n < γ , 這樣的自然數 − n ∈ B -n \in B − n ∈ B . 故 B B B 和 B ′ B' B ′ 都不為空. 於是, B B B 和 B ′ B' B ′ 定義了一個分割 B ∣ B ′ B|B' B ∣ B ′ .
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不妨設 B ∣ B ′ B|B' B ∣ B ′ 定義了實數 β \beta β , 由乘冪的性質, 若 α b < α β < α b ′ , \alpha^{b} < \alpha^{\beta} < \alpha^{b'}, α b < α β < α b ′ , 則我們有 b < β < b ′ b < \beta < b' b < β < b ′ . 若 b ′ − b b' - b b ′ − b 可以小於任意給定的正實數 ε \varepsilon ε , 即 b ′ − b < ε b' - b < \varepsilon b ′ − b < ε , 則 α β = γ . \displaystyle {\alpha^{\beta} = \gamma}. α β = γ . 變換地, 我們有 β = log a γ \beta = \log_{a}{\gamma} β = log a γ .
4. 線段的測量
從有理數擴充到實數解決了線段的測量問題 : 我們要求對於每一條直線段 A A A , 我們定義正實數 ℓ ( A ) \ell(A) ℓ ( A ) 為線段 A A A 的長度, 使得
預先選定的標準線段 E E E 有單位長度, 即 ℓ ( E ) = 1 \ell(E) = 1 ℓ ( E ) = 1 ; 相等的線段有相同的長度; 在加法下, 兩條線段之和的長度總是等於兩條線段的長度之和, 即 ℓ ( A + B ) = ℓ ( A ) + ℓ ( B ) . \displaystyle {\ell(A + B) = \ell(A) + \ell(B)}. ℓ ( A + B ) = ℓ ( A ) + ℓ ( B ) . 我們稱這條要求為線段的可加性.
在解決線段測量問題之前, 我們首先引入可公度性這一概念.
定義 1. (可公度性 ) 對於兩個正數 A A A 和 B B B , 若存在第三個數 C C C 和兩個自然數 p p p 與 q q q , 使得 A = p C , B = q C , \displaystyle {A = pC, B = qC}, A = p C , B = q C , 則稱 A A A 與 B B B 是可公度量 (commensurable quantities) 的; 否則, 稱 A A A 和 B B B 為不可公度量 (incommensurable quantities) 的.
根據線段測量問題的要求 2 和要求 3 , 我們不難得到, 若線段長度為標準長度的 1 q \frac {1}{q} q 1 , 則該線段的長度也為 1 q \frac {1}{q} q 1 . 若我們將這個線段重複疊加 p p p 次, 則新線段的長度為 p q \frac {p}{q} q p . 由此可見, 如果線段 A A A 與標準長度是可公度量的, 並用線段 A A A 與 E E E 的公共測度分別在它們上面量 p p p 次與 q q q 次, 則必定有 ℓ ( A ) = p q . \displaystyle {\ell(A) = \frac {p}{q}}. ℓ ( A ) = q p .
事實上, 若 ℓ ( A ) \ell(A) ℓ ( A ) 與 ℓ ( E ) \ell(E) ℓ ( E ) 是可公度量的, 則必定存在 C C C 使得 ℓ ( A ) = p C , ℓ ( E ) = q C = 1 . \displaystyle {\ell(A) = pC, \ell(E) = qC = 1}. ℓ ( A ) = p C , ℓ ( E ) = q C = 1 . 變換可知, C = 1 q C = \frac {1}{q} C = q 1 , 則 ℓ ( A ) = p q \ell(A) = \frac {p}{q} ℓ ( A ) = q p .
由於存在不可公度的數對, 因此針對線段測量問題, 上面的描述並未完全解決.
現在假設有線段 A A A 與 B B B 滿足 ℓ ( A ) > ℓ ( B ) \ell(A) > \ell(B) ℓ ( A ) > ℓ ( B ) , 於是存在線段 C C C 使得 A = B + C A = B + C A = B + C , 同時也應有 ℓ ( A ) = ℓ ( B ) + ℓ ( C ) \ell(A) = \ell(B) + \ell(C) ℓ ( A ) = ℓ ( B ) + ℓ ( C ) . 再設 Σ \Sigma Σ 是與標準線段 E E E 不可公度的線段, 則存在線段集合 S S S 與 S ′ S' S ′ , 使得任意 s ∈ S s \in S s ∈ S 及 s ′ ∈ S ′ s' \in S' s ′ ∈ S ′ , 都有 ℓ ( s ) < ℓ ( Σ ) , ℓ ( s ′ ) < ℓ ( Σ ) . \displaystyle {\ell(s) < \ell(\Sigma), \ell(s') < \ell(\Sigma)}. ℓ ( s ) < ℓ ( Σ ) , ℓ ( s ′ ) < ℓ ( Σ ) . 若將 ℓ ( s ) \ell(s) ℓ ( s ) 歸入下組, ℓ ( s ′ ) \ell(s') ℓ ( s ′ ) 歸入下組, 則我們得到了一個有理數分割. 不妨設這個分割 { ℓ ( s ) } ∣ { ℓ ( s ′ ) } \left \{ \ell(s) \right \}|\left \{ \ell(s') \right \} { ℓ ( s ) } ∣ { ℓ ( s ′ ) } 定義了無理數 σ \sigma σ , 則 ℓ ( s ) < σ < ℓ ( s ′ ) . \displaystyle {\ell(s) < \sigma < \ell(s')}. ℓ ( s ) < σ < ℓ ( s ′ ) . 現在, 我們確定 σ \sigma σ 便是 ℓ ( Σ ) \ell(\Sigma) ℓ ( Σ ) , 即 σ = ℓ ( Σ ) \sigma = \ell(\Sigma) σ = ℓ ( Σ ) .
斷言4. 任意兩條線段之和的長度等於兩條線段長度之和.
證明 證明 證 明 :考慮具有長度 ρ = ℓ ( P ) \rho = \ell(P) ρ = ℓ ( P ) 和 σ = ℓ ( Σ ) \sigma = \ell(\Sigma) σ = ℓ ( Σ ) 的兩條線段 P P P 和 Σ \Sigma Σ , 以及它們的和 T = P + Σ T = P + \Sigma T = P + Σ , 記 τ = ℓ ( T ) \tau = \ell(T) τ = ℓ ( T ) 為線段 T T T 的長度. 取任意正有理數 r r r , r ′ r' r ′ , s s s 和 s ′ s' s ′ , 使得 r < ρ < r ′ , s < σ < s ′ . \displaystyle {r < \rho < r', s < \sigma < s'}. r < ρ < r ′ , s < σ < s ′ .
我們作出線段 R R R , R ′ R' R ′ , S S S 和 S ′ S' S ′ 使得這些線段的長度恰好是 r r r , r ′ r' r ′ , s s s 和 s ′ s' s ′ . 對於線段 R + S R + S R + S , 其長度 r + s < τ r + s < \tau r + s < τ ; 對於線段 R ′ + S ′ R' + S' R ′ + S ′ , 其長度 r ′ + s ′ > τ r' + s' > \tau r ′ + s ′ > τ . 故有 r + s < τ < r ′ + s ′ . \displaystyle {r + s < \tau < r' + s'}. r + s < τ < r ′ + s ′ . 由實數之和, 我們知道 τ \tau τ 是唯一的. 因此 τ = ρ + σ \tau = \rho + \sigma τ = ρ + σ .
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對於線段的測量問題, 在實數數體中, 要求 1 和要求 2 是顯然成立的, 而斷言 4 印證了要求 3 , 故線段測量問題我們已經解決!
利用歸納法, 我們可以證明任意線段之和的長度等於各個線段的長度之和.
從線段的測量問題, 我們可以得到以下推論 :
推論 1. 在一具有原點 O O O 與標準長度 E E E 的有向軸上, 任取一個點 X X X , 記 ∣ O X → ∣ \left | \overrightarrow {OX} \right | ∣ ∣ ∣ ∣ O X ∣ ∣ ∣ ∣ 為原點 O O O 在標準長度 E E E 上到 X X X 的距離, 這個距離對應了一個正實數. 我們稱 x x x 為有向軸上的橫坐標, 且 x = { ∣ O X → ∣ X 落在原點 O 的右側 − ∣ O X → ∣ X 落在原點 O 的左側 . \displaystyle {x = \begin {cases} \left | \overrightarrow {OX} \right | & {X \text { 落在原點 } O \text { 的右側}} \\ -\left | \overrightarrow {OX} \right | & {X \text { 落在原點 } O \text { 的左側}}. \end {cases}} x = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ∣ ∣ ∣ ∣ O X ∣ ∣ ∣ ∣ − ∣ ∣ ∣ ∣ O X ∣ ∣ ∣ ∣ X 落在原點 O 的右側 X 落在原點 O 的左側 .
推論 1'. 任意實數 x x x 在推論 1 中的有向軸上都對應了唯一的點.
推論 1 和推論 1' 便是引入實數數軸的基礎. 全部實數與有向軸的全部點之間可以建立雙方單值的對應. 實數可以表示稱軸上的點, 我們稱這個有向直線軸為實數軸 (real number axis), 簡稱為數軸 (number axis).