摘要訊息 : 在已經建立的實數體系上, 繼續完善實數的性質.

0. 前言

我們在《【數學分析】實數——實數的四則運算》中嚴格地引入了實數的四則運算. 但是實際上, 還有實數的乘冪和對數需要引入之後, 才能夠嚴格地建立實數體系. 除了實數的運算之外, 我們還將介紹線段的測量. 因為沒有嚴格引入實數之前, 有一些線段的長度是無法用有理數或者其它方法表示的.

更新紀錄 :

• 2022 年 6 月 16 日進行第一次更新和修正.

1. 根的存在性與具有有理指數的乘冪

設 \alpha 是任一實數, n 為自然數, 所謂數 \alpha 的 n 次方根是使得 \displaystyle {\xi^{n} = \alpha} 成立的這樣一個實數 \xi.

顯然, 由實數乘法的唯一性可以推得實數乘冪的唯一性. 現在, 我們將所有負有理數, 零及一切使得 x^{n} < \alpha 的正有理數 x 歸入下組 X, 將剩餘有理數 x' 歸入上組 X'. 不難證實, 我們得到了一個分割 X|X'. 不妨設 X|X' 定義了實數 \xi, 則有以下斷言成立.

斷言 1. 分割 X|X' 定義的實數 \xi 滿足 \xi^{n} = \alpha, 即 \xi = \sqrt [n]{\alpha}.

證明 :

任取正數 x \in X, x' \in X', 則有 \displaystyle {0 < x < \xi < x'}. 由乘法的性質可知, \displaystyle {0 < x^{n} < \xi^{n} < {x'}^{n} \Leftrightarrow x^{n} < \alpha < {x'}^{n}}. 現在, 我們需要考慮 x' - x, 如果它能夠小於任意給定的正數, 那麼斷言便成立. 不妨設 x_{0} 是稍大於 x' 的數, 那麼有 \displaystyle {\begin {aligned} {x'}^{n} - x^{n} &= {x'}^{n} - x^{n} + x{x'}^{n - 1} - x{x'}^{n - 1} + x^{2}{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}x' - x^{n - 1}x' \\ &= (x^{n - 1}x' + x^{n - 2}{x'}^{2} + ... + x{x'}^{n - 1} + {x'}^{n}) - \\ &\ \ \ \ \ (x^{n} + x'x^{n - 1} + x^{2}{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}x' + x^{n}) \\ &= x'(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) - \\ &\ \ \ \ \ x(x^{n - 1} + x'x^{n - 2} + ... + {x'}^{n - 2}x + {x'}^{n - 1}) \\ &= x'(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) - \\ &\ \ \ \ \ x(x^{n - 1} + x^{n - 2}x' + ... + x{x'}^{n - 2} + {x'}^{n - 1}) \\ &= (x' - x)({x'}^{n - 1} + x{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'({x'}^{n - 1} + x{x'}^{n - 2} + ... + x^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'({x'}^{n - 1} + x'{x'}^{n - 2} + ... + {x'}^{n - 1}) \\ &< \varepsilon'(\underbrace {x_{0}^{n - 1} + x_{0}^{n - 1} + ... + x_{0}^{n - 1}}_{n \text { 個}}) \\ &= \varepsilon'nx_{0}^{n - 1}. \end {aligned}} 其中, \varepsilon' 是可以任意小的正數. 取 0 < \varepsilon < \varepsilon'nx_{0}^{n - 1}, 則有 \displaystyle {{x'}^{n} - x^{n} < \varepsilon}. 顯然, \varepsilon 也可以任意小, 於是, \displaystyle {\xi^{n} = \alpha \Leftrightarrow \xi = \sqrt [n]{\alpha}}.

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對於實數來說, 有理指數乘冪的以下性質仍然成立 :

1. \alpha^{r} \cdot \alpha^{r'} = \alpha^{r + r'};
2. \frac {\alpha^{r}}{\alpha^{r'}} = \alpha^{r - r'};
3. \left ( \alpha^{r} \right )^{r'} = \alpha^{rr'};
4. (\alpha\beta)^{r} = \alpha^{r}\beta^{r};
5. \left ( \frac {\alpha}{\beta} \right )^{r} = \frac {\alpha^{r}}{\beta^{r}}.

我們特別指出, 當 \alpha > 1 時, \alpha^{r} 隨著指數 r 的增大而增大.

2. 實數的乘冪

在本節中, 我們需要把乘冪推廣到實數, 而不僅僅限制於有理數. 我們效仿實數加法的引入方法 : 對於以任意實數 \beta 作為指數, 任何正實數 \alpha 的乘冪 \gamma 是這樣一個實數, 對於任意滿足 b < \beta < b' 的有理數 b 和 b', \gamma 介於 \alpha^{b} 和 a^{b'} 之間, 即 \displaystyle {\alpha^{b} < \gamma < \alpha^{b'}}.

斷言 2. \gamma 存在且唯一.

證明 :

考慮一切 \alpha^{\beta} 的集合 \left \{ \alpha^{\beta} \right \}, 不妨令 \gamma = \sup \left \{ \alpha^{\beta} \right \}. 此時, 我們有 \alpha^{b} \leq \alpha^{\beta} \leq \alpha^{b'}. 只需要適當加大 b, 適當減小 b' 即可取消等號. 因此, \gamma 存在.

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為了證明 \gamma 的唯一性, 首先考慮 \displaystyle {\begin {aligned} (\lambda + 1)^{n} &= 1 + n\lambda + \frac {n(n - 1)}{2}\lambda^{2} + ... \\ &> 1 + n\lambda. \end {aligned}} 令 \gamma = \lambda + 1, 則有 \displaystyle {\gamma^{n} = (\lambda + 1)^{n} > 1 + n\lambda = 1 + n(\gamma - 1)}. 基於上式, 我們令 \gamma = \alpha^{\frac {1}{n}}, 於是有 \displaystyle {\left ( \alpha^{\frac {1}{n}} \right )^{n} > 1 + n \left ( \alpha^{\frac {1}{n}} - 1 \right )}. 變換可得 \displaystyle {\alpha^{\frac {1}{n}} - 1 < \frac {\alpha - 1}{n}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm {I})} 我們選取 b 和 b', 使得對於任意自然數 n, 有 \displaystyle {b' - b < \frac {1}{n}}, 並選取 {b_{0}}' 使得其略大於 b'. 那麼結合式 (\mathrm {I}) 可以得到 \displaystyle {\alpha^{b'} - \alpha^{b} = \alpha^{b}\left ( \alpha^{b' - b} - 1 \right ) < \alpha^{b}\left ( \alpha^{\frac {1}{n}} - 1\right ) < \alpha^{b'}\frac {\alpha - 1}{n} < \alpha^{{b_{0}}'}\frac {\alpha - 1}{n}}. 任取正數 \varepsilon 滿足 \varepsilon < \alpha^{{b_{0}}'}\frac {\alpha - 1}{n}. 此時, 只要 n > \frac {\alpha^{{b_{0}}'}(\alpha - 1)}{\varepsilon}, 就有對於任意的 n, 都有一個任意小的正數 \varepsilon 使得 \displaystyle {\alpha^{b'} - \alpha^{b} < \varepsilon} 成立. 故 \alpha^{\beta} = \gamma.

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綜上所述, \gamma 存在且唯一.

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斷言 2 中的證明過程實際上推廣了《【數學分析】實數——實數集合及其有序化》中的引理 2.

推論 1. 設 \alpha 和 \beta 是兩個任意給定的實數, 若任取 \varepsilon > 0, 對於兩個有理數 s' 與 s (s' \geq s) 和實數 \gamma, 總有 \displaystyle {\alpha^{s_{1}} \geq \alpha^{\beta} \geq \alpha^{s} \text { 且 } \alpha^{s_{1}} \geq \gamma \geq \alpha^{s}}, 則 \gamma = \alpha^{\beta}. 其中, s' - s < \varepsilon.

3. 對數

在引入對數之前, 我們首先將使得 \alpha^{b} < \gamma 的有理數 b 歸入 B 組, 將使得 \alpha^{b'} > \gamma 的有理數 b' 歸入 B' 組, 並且假設使得 \alpha^{r} = \gamma 的有理數 r 不存在.

斷言 3. B 組和 B' 組構成了一個有理數的分割 B|B'.

證明 :

由 \alpha^{n} > 1 + n(\alpha - 1) 可得 \displaystyle {\alpha^{n} > n(\alpha - 1)}. 此時, 我們取 n > \frac {r}{\alpha - 1}, 就有 \alpha^{n} > \gamma. 這樣的自然數 n \in B'. 同時, \displaystyle {\alpha^{-n} \doteq \frac {1}{\alpha^{n}} < \frac {1}{n(\alpha - 1)}}. 我們只需取 n > \frac {1}{\gamma(\alpha - 1)}, 便有 \alpha^{-n} < \gamma, 這樣的自然數 -n \in B. 故 B 和 B' 都不為空. 於是, B 和 B' 定義了一個分割 B|B'.

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不妨設 B|B' 定義了實數 \beta, 由乘冪的性質, 若 \alpha^{b} < \alpha^{\beta} < \alpha^{b'}, 則我們有 b < \beta < b'. 若 b' - b 可以小於任意給定的正實數 \varepsilon, 即 b' - b < \varepsilon, 則 \displaystyle {\alpha^{\beta} = \gamma}. 變換地, 我們有 \beta = \log_{a}{\gamma}.

4. 線段的測量

從有理數擴充到實數解決了線段的測量問題 : 我們要求對於每一條直線段 A, 我們定義正實數 \ell(A) 為線段 A 的長度, 使得

1. 預先選定的標準線段 E 有單位長度, 即 \ell(E) = 1;
2. 相等的線段有相同的長度;
3. 在加法下, 兩條線段之和的長度總是等於兩條線段的長度之和, 即 \displaystyle {\ell(A + B) = \ell(A) + \ell(B)}. 我們稱這條要求為線段的可加性.

在解決線段測量問題之前, 我們首先引入可公度性這一概念.

定義 1. (可公度性) 對於兩個正數 A 和 B, 若存在第三個數 C 和兩個自然數 p 與 q, 使得 \displaystyle {A = pC, B = qC}, 則稱 A 與 B 是可公度量 (commensurable quantities) 的; 否則, 稱 A 和 B 為不可公度量 (incommensurable quantities) 的.

根據線段測量問題的要求 2 和要求 3, 我們不難得到, 若線段長度為標準長度的 \frac {1}{q}, 則該線段的長度也為 \frac {1}{q}. 若我們將這個線段重複疊加 p 次, 則新線段的長度為 \frac {p}{q}. 由此可見, 如果線段 A 與標準長度是可公度量的, 並用線段 A 與 E 的公共測度分別在它們上面量 p 次與 q 次, 則必定有 \displaystyle {\ell(A) = \frac {p}{q}}.

事實上, 若 \ell(A) 與 \ell(E) 是可公度量的, 則必定存在 C 使得 \displaystyle {\ell(A) = pC, \ell(E) = qC = 1}. 變換可知, C = \frac {1}{q}, 則 \ell(A) = \frac {p}{q}.

由於存在不可公度的數對, 因此針對線段測量問題, 上面的描述並未完全解決.

現在假設有線段 A 與 B 滿足 \ell(A) > \ell(B), 於是存在線段 C 使得 A = B + C, 同時也應有 \ell(A) = \ell(B) + \ell(C). 再設 \Sigma 是與標準線段 E 不可公度的線段, 則存在線段集合 S 與 S', 使得任意 s \in S 及 s' \in S', 都有 \displaystyle {\ell(s) < \ell(\Sigma), \ell(s') < \ell(\Sigma)}. 若將 \ell(s) 歸入下組, \ell(s') 歸入下組, 則我們得到了一個有理數分割. 不妨設這個分割 \left \{ \ell(s) \right \}|\left \{ \ell(s') \right \} 定義了無理數 \sigma, 則 \displaystyle {\ell(s) < \sigma < \ell(s')}. 現在, 我們確定 \sigma 便是 \ell(\Sigma), 即 \sigma = \ell(\Sigma).

斷言4. 任意兩條線段之和的長度等於兩條線段長度之和.

證明 :

考慮具有長度 \rho = \ell(P) 和 \sigma = \ell(\Sigma) 的兩條線段 P 和 \Sigma, 以及它們的和 T = P + \Sigma, 記 \tau = \ell(T) 為線段 T 的長度. 取任意正有理數 r, r', s 和 s', 使得 \displaystyle {r < \rho < r', s < \sigma < s'}.

我們作出線段 R, R', S 和 S' 使得這些線段的長度恰好是 r, r', s 和 s'. 對於線段 R + S, 其長度 r + s < \tau; 對於線段 R' + S', 其長度 r' + s' > \tau. 故有 \displaystyle {r + s < \tau < r' + s'}. 由實數之和, 我們知道 \tau 是唯一的. 因此 \tau = \rho + \sigma.

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對於線段的測量問題, 在實數數體中, 要求 1 和要求 2 是顯然成立的, 而斷言 4 印證了要求 3, 故線段測量問題我們已經解決!

利用歸納法, 我們可以證明任意線段之和的長度等於各個線段的長度之和.

從線段的測量問題, 我們可以得到以下推論 :

推論 1. 在一具有原點 O 與標準長度 E 的有向軸上, 任取一個點 X, 記 \left | \overrightarrow {OX} \right | 為原點 O 在標準長度 E 上到 X 的距離, 這個距離對應了一個正實數. 我們稱 x 為有向軸上的橫坐標, 且 \displaystyle {x = \begin {cases} \left | \overrightarrow {OX} \right | & {X \text { 落在原點 } O \text { 的右側}} \\ -\left | \overrightarrow {OX} \right | & {X \text { 落在原點 } O \text { 的左側}}. \end {cases}}

推論 1'. 任意實數 x 在推論 1 中的有向軸上都對應了唯一的點.

推論 1 和推論 1' 便是引入實數數軸的基礎. 全部實數與有向軸的全部點之間可以建立雙方單值的對應. 實數可以表示稱軸上的點, 我們稱這個有向直線軸為實數軸 (real number axis), 簡稱為數軸 (number axis).