摘要訊息 : 建立嚴格的實數體系.

0. 前言

我們在中學的時候已經學過實數了, 但是我們仍然要重新建立實數這個體系. 因為中學中的實數體系並不是嚴謹的, 如果直接以中學的實數為基礎開始學習數學分析, 就會導致很多定理或者定義缺失嚴謹性. 這就好比在地基不穩的地方建樓, 這個樓能安全嗎?

更新紀錄 :

• 2022 年 6 月 16 日進行第一次更新和修正.

1. 從有理數到無理數

在中學數學中, 我們已經接觸過有理數和無理數. 對於 $x^{2} = 2$ 這樣的方程式, 如果不擴充有理數, 引入無理數, 那麼這樣簡單的方程式都將無解. 再考慮單位長度的正方形, 它的對角線長度並不在有理數的範圍之內. 要證明某個數為無理數, 一般採用歸謬法.

斷言 1. $\sqrt {2}$ 是無理數.

$證明$ :

任何有理數都可以表示為分數的形式. 不妨假設存在 $p$ 和 $q$, 使得 $\frac {p}{q} = \sqrt {2}$, 即 $\displaystyle {\left ( \frac {p}{q} \right )^{2} = 2}$ 且 $\frac {p}{q}$ 是既約的 (無法再約分).

通過變換, 我們有 $p^{2} = 2q^{2}$, 由於 $\frac {p}{q}$ 是既約的, 因此 $p$ 和 $q$ 都為整數. 於是, $p^{2}$ 為偶數, 從而 $p$ 也是偶數 (若有 $a = 2b$, 那麼 $a$ 可以被 $2$ 整除, 因此 $a$ 為偶數; 另外, 偶數的平方必定是偶數). 從而 $q$ 是奇數. 設 $r$ 滿足 $\displaystyle {p = 2r}.$ 置換可知 $4r^{2} = 2q^{2}$, 即 $\displaystyle {q^{2} = 2r^{2}}.$ 於是 $q^{2}$ 也是偶數, $q$ 也為偶數. 這與 $\frac {p}{q}$ 是既約的相矛盾.

綜上所述, $\sqrt {2}$ 是無理數.

$\blacksquare$

2. 數體

對於一個數的集合 $S$, 若 $S$ 中的任意兩個數的四則運算, 即加減乘除 (除數不為 $0$) 的結果仍然在 $S$ 內, 那麼我們稱集合 $S$ 是一個數體 (number field). 換句話說, 數體的運算具有封閉性 (closure property).

常見的數體有三個 : 有理數數體 $\mathbb {Q}$, 實數數體 $\mathbb {R}$ 和複數數體 $\mathbb {C}$. 自然數集合 $\mathbb {N}$, 整數集合 $\mathbb {Z}$ 和無理數集合 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 都不是數體.

要說明一個集合不是數體很簡單, 例如對於自然數集合 $\mathbb {N}$, 有 $1 \in \mathbb {N}$ 和 $2 \in \mathbb {N}$, 然而兩數之商 $\frac {1}{2} \notin \mathbb {N}$. 因此, 自然數集合 $\mathbb {N}$不是一個數體. 另外對於無理數集合, $\sqrt {2} - \sqrt {2} = 0 \notin \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, 因此無理數集合也不是數體.

3. 分割與無理數

我們首先以有理數為基礎, 引入分割的概念.

定義 1. 考慮把全部有理數分成兩個集合 $A$ 和 $A'$ 滿足 :

1. $A$ 和 $A'$ 都是非空的;
2. 任意一個有理數在且唯在一個集合中. 即任取 $q \in \mathbb {Q}$, 必定有 $q \in A$ 且 $q \notin A'$ 或 $q \in A'$ 且 $q \notin A$;
3. 任取 $a \in A, a' \in A'$, 總有 $a < a'$.

那麼我們稱集合 $A$ 和 $A'$ 定義了一個有理數的分割 (cut), 記為 $A|A'$. 其中, $A$ 稱為分割的下組 (closed downwards), $A'$ 稱為分割的上組 (closed upwards).

由分割的定義可知, 對於任意 $a \in A$ 和 $a' \in A'$, 小於 $a$ 的數必定在下組中, 大於 $a'$ 的數必定在上組中.

例題 1. 令 $A = \left \{ a : a < 1 \right \}$, $A' = \left \{ a' : a' \geq 1 \right \}$.

$闡述$ :

由有理數分割的定義可知, $A|A'$ 定義了一個分割.

$\blacksquare$

斷言 2. 對於分割 $A|A'$ : $A = \left \{ a : a < 1 \right \}$, $A' = \left \{ a' : a' \geq 1 \right \}$, 下組 $A$ 中不存在最大的數.

$證明$ :

任取 $a \in A$ 且 $a > 0$. 要證明下組中不存在最大的數, 只需要找到一個正整數 $n$ 使得 $\displaystyle {a + \frac {1}{n} < 1}$ 即可. 對上式進行變換可知 $\displaystyle {n > \frac {1}{1 - a}}.$ 因此, 任意滿足 $n > \frac {1}{1 - a}$ 的 $n$ 都能夠使得 $\displaystyle {a < a + \frac {1}{n} < 1}$ 成立. 因此, 下組 $A$ 中不存在最大的數.

$\blacksquare$

例題 1'. 令 $A = \left \{ a : a \leq 1 \right \}$, $A' = \left \{ a' : a' > 1 \right \}$.

$闡述$ :

由有理數分割的定義可知, $A|A'$ 定義了一個分割.

$\blacksquare$

斷言 2'. 對於分割 $A|A'$ : $A = \left \{ a : a \leq 1 \right \}$, $A' = \left \{ a' : a' > 1 \right \}$, 上組 $A'$ 中不存在最小的數.

$證明$ :

任取 $a' \in A'$. 要證明上組 $A'$ 中沒有最小的數, 僅需要找到一個正整數 $n$ 使得 $\displaystyle {a' - \frac {1}{n} > 1}$ 即可. 對上式變換可得 $\displaystyle {n < \frac {1}{1 - a'}}.$ 因此, 任意滿足 $n < \frac {1}{1 - a'}$ 的 $n$ 都可以使得 $1 < a - \frac {1}{n} < a$ 成立. 故上組 $A'$ 中不存在最小的數.

$\blacksquare$

例題 2. 令 $A = \left \{ a : a^{2} < 2 \right \}$, $A' = \left \{ a' : {a'}^{2} > 2 \right \}$.

$闡述$ :

由於我們討論的是有理數的分割, 因此由有理數分割的定義可知, $A|A'$ 定義了一個分割.

$\blacksquare$

斷言 3. 對於分割 $A|A'$ : $A = \left \{ a : a^{2} < 2 \right \}$, $A' = \left \{ a' : {a'}^{2} > 2 \right \}$, 下組中不存在最大的數, 上組中也不存在最小的數.

$證明$ :

任取 $a \in A$ 且 $a > 0$. 要證明下組 $A$ 中不存在最大的數, 只需要找到一個正整數 $n$ 使得 $\displaystyle {\left ( a + \frac {1}{n} \right )^{2} < 2}$ 成立即可. 展開上式可得 $\displaystyle {a^{2} + \frac {2a}{n} + \frac {1}{n^{2}} < 2 \Rightarrow \frac {2a}{n} + \frac {1}{n^{2}} < 2 - a^{2}}.$ 而 $\frac {2a}{n} + \frac {1}{n^{2}} < \frac {2a}{n} + \frac {1}{n} = \frac {a + 1}{n}$. 若 $\frac {2a + 1}{n} < 2 - a^{2}$, 則有 $\displaystyle {\left ( a + \frac {1}{n} \right )^{2} < 2}.$ 此時, $\displaystyle {n > \frac {2a + 1}{2 - a^{2}}}.$ 因此, 只需要取 $\displaystyle {n > \left \lceil \frac {2a + 1}{2 - a^{2}} \right \rceil},$ 便有 $\left ( a + \frac {1}{n} \right )^{2} < 2$. 故下組中不存在最大的數.

$\square$

同樣地, 任取 $a' \in A'$, 且 $a' > 0$. 要證明上組 $A'$ 中不存在最小的數, 只需要找到一個正整數 $m$ 使得 $\displaystyle {\left ( a' - \frac {1}{m} \right )^{2} > 2}$ 成立即可. 展開上式可得 $\displaystyle {{a'}^{2} - \frac {2a'}{m} + \frac {1}{m^{2}} > 2 \Rightarrow \frac {1}{m^{2}} - \frac {2a'}{m} > 2 - a}.$ 而 $\frac {1}{m^{2}} - \frac {2a'}{m} < \frac {1}{m} - \frac {2a'}{m} = \frac {1 - 2a'}{m}$. 若 $\frac {1 - 2a'}{m} > 2 - a'$, 則有 $\displaystyle {a' - \frac {1}{m^{2}} > 2}$ 成立. 變換可得 $\displaystyle {m < \frac {1 - 2a'}{2 - a'}}.$ 因此, 只需要取 $m < \left \lfloor \frac {1 - 2a'}{2 - a'} \right \rfloor$ 就有 $\left ( a' - \frac {1}{m} \right )^{2} > 2$ 成立. 因此上組 $A'$ 中不存在最小的數.

$\square$

綜上所述, 對於分割 $A|A'$, 下組中不存在最大的數, 上組中也不存在最小的數.

$\blacksquare$

斷言 4. 不存在這樣一個分割 $A|A'$, 它既滿足上組中存在最大的數, 由滿足下組中存在最小的數.

$證明$ :

設分割 $A|A'$ 滿足 $A$ 中有最大的數 $a$, $A'$ 中有最小的數 $a'$. 那麼根據分割的定義, 自然有 $\displaystyle {a < a'}.$ 如果 $a$ 和 $a'$ 存在無窮小數, 且小數部分前 $k$ 位相同, 那麼如果整數部分相同, 這兩個數的大小由小數部分的第 $k + 1$ 位決定. 現在取 $a$ 的前 $k + 1$ 位, 在第 $k + 2$ 位任意添加一個十以內的非零整數, 記這個數字為 $c$. 那麼顯然有 $\displaystyle {a < c < a'}$ 成立. 這樣, $c \notin A$ 且 $c \notin A'$. 於是, $A|A'$ 不滿足分割的定義, 和假設存在矛盾.

綜上所述, 不存在這樣一個分割 $A|A'$, 它既滿足上組中存在最大的數, 由滿足下組中存在最小的數.

$\blacksquare$

那麼現在由斷言 2, 斷言 2', 斷言 3 和斷言 4 可以得到, 有理數的分割存在三種類型 :

• 在下組 $A$ 中沒有最大的數, 而在上組 $A'$ 中有最小的數;
• 在下組 $A$ 中有最大的數, 而在上組 $A'$ 中沒有最小的數;
• 在下組 $A$ 中沒有最大的數, 同時在上組 $A'$ 中沒有最小的數.

對於有理數的分割來說, 前面兩種類型的分割由有理數 $r$ 產生. $r$ 或者是下組中最大的數, 又或者是上組中最小的數. 我們稱有理數 $r$ 為有理數分割 $A|A'$ 的界數 (bound number), 或者有理數分割 $A|A'$ 定義了有理數 $r$. 對於第三種情形, 我們規定這種類型的分割定義了某個無理數 (irrational number) $\alpha$, 這個 $\alpha$ 替代了本在有理數中無法找到的界數. 根據中學所學的知識, 不難得到例題 2 中的分割 $A|A'$ 定義了 $\sqrt {2}$, 或者說是 $\sqrt {2}$ 是分割 $A|A'$ 的界數.

Tip : 這樣去引入無理數是嚴謹的.

對於界數分配到下組中還是上組中, 這並沒有明確規定. 但是為了明確起見, 沒有特殊說明的情況下, 我們規定 : 若是提及了由數 $r$ 產生的分割, 我們總是將 $r$ 歸入到上組中.

有理數和無理數一起組成了一個新的集合, 這個集合便是實數 (real number). 實數是數學分析乃至整個數學的基本概念之一.

4. 實數集合的有序化

定義 2. 設分割 $A|A'$ 和 $B|B'$ 分別定義無理數 $\alpha$ 與 $\beta$. 若 $A = B$ 且 $A' = B'$, 則稱 $\displaystyle {\alpha = \beta}.$

定義 3. 設分割 $A|A'$ 和 $B|B'$ 分別定義無理數 $\alpha$ 與 $\beta$. 若 $B \subset A$, 則稱 $\displaystyle {\alpha > \beta}.$

顯然地, 定義 2 和定義 3 都適用於有理數. 對於定義 2, 我們可以將定義簡化, 去處 $A' = B'$ 這一個條件. 因為根據分割的定義, 下組相同, 上組自然就相同.

推論 1. 若分割 $A|A'$, $B|B'$ 和 $C|C'$ 分別定義 $\alpha$, $\beta$ 和 $\gamma$. 若有 $\alpha > \beta$, $\beta > \gamma$, 那麼有 $\displaystyle {\alpha > \gamma}.$

$證明$ :

由 $\alpha > \beta$ 可知, $B \subset A$; 由 $\beta > \gamma$ 可知, $C \subset B$. 於是有 $\displaystyle {C \subset A}.$ 根據定義 2, 自然有 $\alpha > \gamma$.

$\blacksquare$

由推論 1 類似可得, 若有 $\alpha < \beta$ 且 $\beta < \gamma$, 那麼有 $\alpha < \gamma$. 因此, 任意兩個實數 $\alpha$ 和 $\beta$ 之間有三種關係 :$\displaystyle {\alpha = \beta, \alpha > \beta \text { 和 } \alpha < \beta}.$

引理 1. 不論 $\alpha$ 與 $\beta$ 是兩個怎樣的實數, 若 $\alpha > \beta$, 那麼總能找到一個這樣的實數 $r$, 使得 $r$ 介於 $\alpha$ 和 $\beta$ 之間, 即 $\displaystyle {\alpha > r > \beta}.$ 甚至 $r$ 可以是有理數, 並且存在無數個這樣的 $r$.

$說明$ :

由於 $\alpha > \beta$, 因此定義 $\alpha$ 的分割的下組 $A$ 包含了定義 $\beta$ 的分割的下組 $B$, 即 $B \subset A$. 那麼自然可以在 $A$ 中找到一個實數, 甚至是有理數 $r$, 其滿足 $r < \alpha$, $r \notin B$ 和 $r \in B$. 其中, $B'$ 是定義 $\beta$ 的分割的上組. 那麼對於 $r$, 有 $\displaystyle {\alpha > r \geq \beta}.$ 由斷言 3 可知, $A$ 中沒有最大的數. 因此為了取消等號, 只需要適當放大 $r$ 即可.

$\blacksquare$

引理 2. 設 $\alpha$ 與 $\beta$ 是兩個給定的實數, $s'$ 和 $s$ 是兩個滿足 $s' > s$ 的有理數. 任取 $\varepsilon > 0$, 若 $\alpha$ 與 $\beta$ 總能夾在 $s'$ 與 $s$ 中間, 即 $\displaystyle {s' \geq \alpha \geq s \text { 且 } s' \geq \beta \geq s}.$ 其中, $s' - s < \varepsilon$. 那麼必定有 $\displaystyle {\alpha = \beta}.$

$證明$ :

我們使用歸謬法進行證明. 假設 $\alpha > \beta$. 由引理 1 可知, 可以在 $\alpha$ 和 $\beta$ 之間插入兩個有理數 $r$ 和 $r'$, 使得 $\displaystyle {\alpha > r' > r > \beta}$ 成立. 由於 $s' \geq \alpha$ 且 $\beta \geq s$, 結合上式可以得到 $\displaystyle {s' > r' > r > s}.$ 顯然又有 $\displaystyle {s' - s > r' - r}.$ 若取 $\varepsilon = r' - r$, 則與引理條件矛盾.

對於 $\alpha < \beta$ 的情況類似可證.

綜上所述, $\alpha = \beta$.

$\blacksquare$

5. 實數的無盡小數表示法

設實數 $\alpha$ 由分割 $A|A'$ 定義, 它既不是整數, 也不是任何有限十進制小數. 現在考慮 $\alpha$ 的近似. 首先在 $A$ 中找到一整組 $M$, 在 $A'$ 中找到一整數 $N$. 逐一增大 $M$, 逐一減小 $N$, 直到找到一組相鄰整數 $C$ 與 $C + 1$, 使得 $\displaystyle {C < \alpha < C + 1}.$ 其中, $M = C$, $N = C + 1$. 這裡, $C$ 可以是整數, 負數或者零. 其次, 我們將區間 $[C, C + 1]$ 分成十等份 : $\displaystyle {C.1, C.2, ..., C.9}.$ 那麼 $\alpha$ 落且唯落在其中一個部分. 於是, 我們得到兩個相差為 $\frac {1}{10}$ 的有理數, 即 $C.c_{1}$ 與 $C.c_{1} = \frac {1}{10}$, 使得 $\displaystyle {C.c_{1} < \alpha < C.c_{1} + \frac {1}{10}}.$ 繼續使用類似的步驟, 在確定了 $n - 1$ 個數字 $C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}$ 後, 我們使用不等式 $\displaystyle {C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}c_{n} < \alpha < C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}c_{n} + \frac {1}{10^{n}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm {I})}$ 來確定第 $n$ 個數字 $c_{n}$.

於是在求數 $\alpha$ 的十進制小數近似值的過程中, 我們作出了整數 $C$ 與一無窮序列 $c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}, ...$, 由這些數字組成的無盡小數記為 $\displaystyle {C.c_{1}c_{2}...c_{n}...}.$ 它可以看作實數 $\alpha$ 的一種表示.

有盡十進制小數, 包括整數, 它是一種特殊情形. 不過, 我們仍然可以採用類似的方法來確定 $C, c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}, ...$. 只不過, 這比無盡小數更一般 :$\displaystyle {C.c_{1}c_{2}...c_{n} \leq \alpha \leq C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac {1}{10^{n}}}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm {II})$ 因此, 當 $n$ 大到一定程度, $\alpha$ 會和包含它的區間某一端重合. 此時, 上式中的等號便會成立, 即某一端出現等式.

對於有限小數 $\alpha = C.c_{1}c_{2}...c_{n}\ (c_{n} \neq 0)$, 記 $c_{n}' = c_{n} - 1$, 則 $\alpha$ 可以表示為 $\displaystyle {\alpha = C.c_{1}c_{2}...c_{n}000... = C.c_{1}c_{2}...c_{n}'999...}$ 對於 $\alpha < 0$ 的情形, 還有另一種表示方法. 記 $B = |C| + 1$, $b_{1} = 0 - c_{1}$, $b_{2} = 9 - c_{2}$, ..., $b_{n} = 10 - c_{n}$, $b_{n}' = b_{n} - 1$, 則 $\alpha$ 可以表示為 $\displaystyle {\alpha = B.b_{1}b_{2}...b_{n} = B.b_{1}b_{2}...b_{n}000... = B.b_{1}b_{2}...b_{n}'999...}$

對於無限小數 $\alpha$, 我們稱 $C.c_{1}c_{2}...c_{n}$ 為 $\alpha$ 的偏小近似值 (lower approximate value), $C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac {1}{10^{n}}$ 為 $\alpha$ 的偏大近似值 (upper approximate value). 這兩個近似值的差為 $\frac {1}{10^{n}}$. 這個差會隨著 $n$ 的增大小於任意的有理數 $\varepsilon > 0$. 事實上, 不超過 $\frac {1}{\varepsilon}$ 的正整數僅存在有限多個. 因此, 不等式 $\frac {1}{10^{n}} \leq \frac {1}{\varepsilon}$, 或者等價地, $\frac {1}{10^{n}} \geq \varepsilon$ 只能被有限多個 $n$ 所滿足; 對於其餘一切 $n$ 值, 都有 $\displaystyle {\frac {1}{10^{n}} < \varepsilon}.$ 根據引理 2 可知, 凡是不同於 $\alpha$ 的數 $\beta$ 都無法滿足 $\displaystyle {C.c_{1}c_{2}...c_{n} \leq \beta \leq C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac {1}{10^{n}}}.$ 從而, $\beta$ 的無盡小數的表示形式也不同於 $\alpha$.

由此可見, 在特別情形下, 不等於任何有限小數的數, 其表示形式不能由 $0$ 或者 $9$ 作循環節. 因為每一個以 $0$ 或 $9$ 作循環節的小數都表示一個有限小數.

任取一個無盡小數 $C.c_{1}c_{2}...c_{n}...$, 則存在一個實數 $\alpha$ 使得 $\alpha = C.c_{1}c_{2}...c_{n}...$ 顯然, 只要讓 $\alpha$ 滿足不等式 $(\mathrm {II})$ 即可. 為此, 我們引入簡短的記號 : $\displaystyle {C_{n} = C.c_{1}c_{2}...c_{n}, C_{n}' = C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac {1}{10^{n}}}.$ 我們注意到對於整數 $m$, 當 $m = n$ 時, 由 $C_{n} < C_{m}'$; 當 $m > n$ 時, 必有 $C_{n} < C_{m}'$; 當 $m < n$ 時, 也有 $C_{n} < C_{m}'$, 因為 $C_{m} + \frac {1}{10^{m}} > C_{m}$. 因此, 對於任意整數 $m$, 都有 $C_{n} < C_{m}'$. 現在, 在有理數數體中作一個分割 : 所有大於 $C_{n}$ 的有理數 (例如所有 $C_{m}'$) 歸入上組 $A'$ 中, 其餘一切有理數 (包括 $C_{n}$ 自身) 歸入下組 $A$ 中. 不難驗證, 分割 $A|A'$ 定義了一個實數 $\alpha$. 事實上, 因為 $\alpha$ 是夾在兩組中間的界數, 所以有 $\displaystyle {C_{n} \leq \alpha \leq C_{m}'}.$

綜合上面的討論, 任何實數都可以看作無盡小數, 而循環的小數都是有理數, 不循環的小數便是無理數.

以後, 我們需要利用有理數 $a$ 和 $a'$ 來逼近實數 $\alpha$ : $\displaystyle {a < \alpha < a'}.$ 它們的差可以小於任意小的有理數 $\varepsilon > 0$, 即 $a' - a < \varepsilon$. 對於有理數而言, $a$ 和 $a'$ 顯然存在; 對於無理數而言, 可以採用足夠大的 $n$ 取到的 $C_{n}$ 和 $C_{n}'$ 作為 $a$ 和 $a'$.

6. 實數集合的連續性

對有理數集合進行分割是我們引入實數的基礎, 通過分割我們發現某些分割的上下組中不存在最值, 即有理數之間存在空隙. 這個特性我們稱為有理數的不完備性 (incompleteness). 正是有理數的不完備性, 為無理數的引入提供了根據, 那麼自然地, 我們希望探索實數集合是否存在空隙, 即實數集合是否為完備的.

與有理數相似, 我們考慮實數集合的分割.

定義 1. 考慮把全部實數分成兩個集合 $A$ 和 $A'$ 滿足 :

1. $A$ 和 $A'$ 都是非空的;
2. 任意一個實數在且唯在一個集合中. 即任取 $q \in \mathbb {Q}$, 必定有 $q \in A$ 且 $q \notin A'$ 或 $q \in A'$ 且 $q \notin A$;
3. 任取 $a \in A, a' \in A'$, 總有 $a < a'$.

那麼我們稱集合 $A$ 和 $A'$ 定義了一個實數分割, 記為 $A|A'$. 其中, $A$ 稱為分割的下組, $A'$ 稱為分割的上組.

定理 1. (Dedekind 基本定理) 對於實數集合的任何分割 $A|A'$, 存在產生這個分割的實數 $\beta$, 使得 $\beta$ 或者是下組 $A$ 中最大的數, 又或者是上組 $A'$ 中最小的數.

$證明$ :

設 $B \subset A$ 是 $A$ 中的有理數集合, $B' \subset A'$ 是 $A'$ 中有理數的集合. 於是, $B|B'$ 構成了一個分割, 並且定義了某個實數 $\beta$. 而 $\beta$ 或是落在了 $A$ 中, 或是落在了 $A'$ 中. 假設 $\beta \in A$, 於是我們便要證明 $\beta$ 是 $A$ 中最大的數. 我們使用歸謬法進行證明. 假設在 $A$ 中存在一個 $\alpha_{0}$, 使得 $\alpha_{0} > \beta$. 根據引理 1, 必定存在某個數 $r$, 使得 $\displaystyle {\alpha_{0} > r > \beta}$ 若 $r$ 為有理數 (根據引理 1 顯然可以找到), 由於 $\alpha_{0} \in A$, 則 $r \in A$, 同時 $r \in B$. 然而由於 $B|B'$ 定義 $\beta$, 因此對於任意 $\beta_{0} \in B$, 必然有 $\beta_{0} \leq \beta$. 若 $\alpha_{0}$ 確實存在, 則有理數 $r$ 也必定存在, 此時 $B|B'$ 就無法定義 $\beta$, 和假設產生矛盾. 因此, $\beta$ 是下組 $A$ 中最大的數.

$\square$

類似地, 假設 $\beta$ 不是上組 $A'$ 中最大的數, 那麼存在 $r_{0} \in A'$, 使得 $r < \beta$. 此時, 也必定可以找到一個有理數 $r' \in B'$ 使得 $\displaystyle {r < r' < \beta}.$ 那麼分割 $B|B'$ 同樣無法定義 $\beta$. 故假設不成立.

$\square$

綜上所述, 對於實數集合的任何分割 $A|A'$, 存在產生這個分割的實數 $\beta$, 使得 $\beta$ 或者是下組 $A$ 中最大的數, 又或者是上組 $A'$ 中最小的數.

$\blacksquare$

定理 1描述了實數集合的完備性, 或者稱為連續性 (continuity). 這個特性是有理數集合所不具備的.

斷言 2, 斷言 2', 斷言 3 和斷言 4 針對實數集合的分割同樣成立.

7. 數集的界

對於任意有限或者無限集合, 用 $x$ 表示集合中的任一數, 於是 $x$ 可以作為集合元素的標準記號; 數 $x$ 的集合本身可以用 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 來表示.

定義 4. 如果對於所考慮的集合 $\left \{ x \right \}$, 若存在這樣的數 $M$, 使得一切的 $x \leq M$, 我們便說這個集合是上有界的 (upper bounded), 或者說這個集合是由 $M$ 限制且上有界的. 而 $M$ 本身是集合 $\left \{ x \right \}$ 的一個上界 (upper bound).

定義 4'. 對於所考慮的集合 $\left \{ x \right \}$, 若存在這樣的數 $m$, 使得一切的 $x \geq m$, 則稱這個集合是下有界的 (lower bounded), 或者說這個集合是由 $m$ 限制且下有界的. 而 $m$ 本身是集合 $\left \{ x \right \}$ 的一個下界 (lower bound).

一個上有界的集合可以同時是下有界的, 也可以不是下有界的; 反之亦然. 例如, $A = \left \{ a : x > 0 \right \}$ 便是下有界的, 任何小於或者等於 $0$ 的數都可以作為 $A$ 的下界, 而 $A$ 並非上有界的.

若某個集合不是上有界的, 我們便取以一個廣義的數 $+\infty$ 作為其上界; 若某個集合不是下有界的, 我們便取另一個廣義的數 $-\infty$ 作為其下界. 對於任意有限實數 $\alpha$, 我們總有 $\displaystyle {-\infty < \alpha < +\infty}.$

定義 5. 對於一個上有界的集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$, 它必定存在無限多個上界, 所有上界中最小的那個數稱為這個集合的最小上界 (supremum), 記為 $\displaystyle {M^{*} = \sup {\mathscr {X}} = \sup \left \{ x \right \}}.$

定義 5'. 對於一個下有界的集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$, 它必定存在無限多個下界, 所有下界中最大的那個數稱為這個集合的最大下界 (infimum), 記為 $\displaystyle {m^{*} = \inf {\mathscr {X}} = \inf \left \{ x \right \}}.$

定理 2. 如果集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 是上有界或者下有界的, 那麼它必定存在最小上界或者最大下界.

$論述$ :

我們以上有界的情況為例進行論述, 嚴格證明需要引入實數的定義才可以實現. 我們目前所說的實數知識有理數與無理數兩個集合的並.

首先假定在集合 $\mathscr {X}$ 中可以找到最大的數 $\bar {x}$. 因此, 對於任意 $x \in \mathscr {X}$, 必定有 $x \leq \bar {x}$. 也就是說, $\bar {x}$ 是 $\mathscr {X}$ 的一個上界. 另一方面, $\bar {x} \in \mathscr {X}$; 因此, 對於任何上界 $M$, 有 $\bar {x} \leq M$. 因此, 此時 $\bar {x}$ 是集合 $\mathscr {X}$ 的最小上界.

再假設集合 $\mathscr {X}$ 中沒有最大的數. 由於集合 $\mathscr {X}$ 是上有界的, 於是我們將所有上界 $\alpha'$ 歸入 $A$ 中, 其餘實數 $\alpha$ 歸入 $A$ 中. 在這個分法下, 任何 $x \in \mathscr {X}$ 都落在 $A$ 中, 即 $x \in A$. 由於集合 $\mathscr {X}$ 中沒有最大的數, 於是可以斷定 $A$ 和 $A'$ 都不為空. 根據分割的定義, 這個分法構成了一個分割 $A|A'$, 它定義了一個實數 $\beta$. 根據我們的分法, 任意 $\alpha \in A$ 都無法使得不等式 $\displaystyle {\alpha > \beta}$ 成立. 而 $A$ 中沒有最大的數, 根據定理 1, $\beta$ 是 $A'$ 中最小的數. 所以, $\beta$ 便是集合 $\mathscr {X}$ 的最小上界.

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我們規定, 若集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 不是上有界的, 則稱其最小上界為 $+\infty$, 即 $\displaystyle {\sup {\mathscr {X}} = \sup \left \{ x \right \} = +\infty};$ 若集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 不是下有界的, 則稱其最大下界為 $+\infty$, 即 $\displaystyle {\inf {\mathscr {X}} = \inf \left \{ x \right \} = -\infty}.$

推論 1. 若 $M^{*}$ 是集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 的最小上界, 那麼對於一切 $x$, 有 $\displaystyle {x \leq M^{*}}.$ 現任取 $\alpha < M^{*}$, 則在集合 $\mathscr {X}$ 中, 必定可以找到一個 $x'$ 使得 $\displaystyle {x' > \alpha}.$

推論 1'. 若 $m^{*}$ 是集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$ 的最大下界, 那麼對於一切 $x$, 有 $\displaystyle {x \leq m^{*}}.$ 現任取 $\alpha < m^{*}$, 則在集合 $\mathscr {X}$ 中, 必定可以找到一個 $x'$ 使得 $\displaystyle {x' < \alpha}.$

推論 1 和推論 1' 根據引理 1 是顯然可以得到的.

推論 2. 對於集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$, 若對於一切 $x$ 滿足 $x \leq M$, 則 $\displaystyle {\sup {\mathscr {X}} = \sup \left \{ x \right \} \leq M}.$

推論 2'. 對於集合 $\mathscr {X} = \left \{ x \right \}$, 若對於一切 $x$ 滿足 $x \geq m$, 則 $\displaystyle {\inf {\mathscr {X}} = \inf \left \{ x \right \} \geq m}.$