1. 導論

數學分析作為整個分析學甚至數學體系的一個基礎科目, 其地位非常重要. 在這個系列的文章中, 我將會帶領大家逐漸從中學數學過度到數學分析, 並且建立比較夯實的數學分析基礎. 對於大家之後在任何領域的學習和應用過程中, 數學分析都會起到極其重要的作用, 特別是電腦科學. 其實在之前的文章中, 大家都會時不時看到分析學的影子. 比如在文章《【資料結構】雜湊表》中, 我們使用了定積分的定義; 在機率論系列的文章中, 即時目前只寫了初等機率輪, 但是大家仍然看到了各種極限和積分.

首先, 學習數學分析是需要一定門檻的, 也就是我們經常會在文章中提到的中學數學. 中學數學是學習數學分析的基礎, 它涉及了一些簡單的數學分析內容, 但是沒有深入. 數學分析的任務除了作為分析學的基礎之外, 還有一個任務就是補充中學數學的知識, 使得大家心中的數學體系變得完整且嚴謹. 說來也簡單, 學了中學數學就可以學好數學分析, 因此大家不必看到數學就害怕. 那麼在學習數學分析之前, 有哪些知識是學習數學分析的基礎呢?

2. 中學數學基礎

我們將知識分為 5 個等級 :

  • A 級 (字面性理解) : 知道由來;
  • B 級 (解釋性理解) : 可以給他人解釋這個知識點;
  • C 級 (應用性理解) : 可以應用知識點;
  • D 級 (批判性理解) : 對知識保持有敏感性, 有一定的洞察能力;
  • E 級 (創造性理解) : 可以使用知識點創造一個新的知識點.

這 5 個等級闡述著一個知識的重要性. 從 A 級到 E 級, 說明著知識的重要性逐漸加強. 對於這 5 個等級, 我進行以下額外的解釋 (這裡面用到了以後可能學習到的知識) :

  • A 級 : 對於不同的定義, 定理和推論等, 你需要知道它們是怎麼來的. 比如, 0.\dot {9} = 1 是定義而來的, 而並非證明出來的. 在不需要幫助的情況下, 你可以大概想起定義或者定理是什麼樣的, 大概說明了什麼;
  • B 級 : 不僅僅能記起某個知識, 你還可以給他人解釋這個知識, 並且他人可以從你的解釋獲得對該知識的 A 級理解;
  • C 級 : 你可以根據某些參考資料或者案例, 將知識進行應用. 最簡單的應用就是做題, 你可以使用知識解決一些題目或者證明一個新的定理等;
  • D 級 : 你可以通過某個知識點或者結合一些知識點, 在不借助任何資料的情況下, 自行從中進行推論. 例如, 當你學習了 \sin^{2} {x} + \cos^{2} {x} = 1 和導函數之後, 你可以洞察到利用導函數來證明 \sin^{2} {x} + \cos^{2} {x} = 1 的方法;
  • E 級 : 這個級別的理解是終極的理解, 代表著你熟悉某個知識及其與其相關的知識, 而且可以利用你所知道的來創造新的知識. 例如當你學習過加法和集合之後, 便可以使用加法和集合的定義來創造集合的加減法.

接下來, 我們使用上面的等級來劃分中學數學中的知識, 這些知識是學習數學分析的基礎, 大家都應該按照知識等級進行了解, 裡面不存在 E 級的內容.

2.1 數值與基本概念

  • 【A 級】數值的近似、平均數、複數、集合、區間、元素與集合的關係、集合與集合的關係、集合的基本運算、且、或、非、否命題、否逆命題、充分條件和必要條件;
  • 【B 級】實數、有理數、無理數、整數、分數、正數、負數、自然數、小數、常數、變數、相反數和分數的約分;
  • 【C 級】絕對值、有限個實數的基本運算 (加法、減法、乘法、除法和取餘)、實數運算的法則與規律、實數的乘方和實數的開方.

2.2 數學概念、數學思想與數學方法

  • 【A 級】定義、定理、推論、公理、斷言、證明和論述;
  • 【B 級】消去法、代入法、待定係數法、降次法和分解法;
  • 【C 級】整體法、配方法、換元法和分類討論法;
  • 【D 級】歸謬法和歸納法.

2.3 函數

  • 【A 級】影射、函數、定義域、值域、參數方程式、圓的方程式和參數方程式、橢圓的方程式和參數方程式、雙曲線的方程式和參數方程式、拋物線的方程式和參數方程式、數列、數列的通項公式和數列前 n 項和、三角函數 (餘切函數、正割函數、餘割函數) 及其性質和反三角函數 (反餘切函數、反正割函數、反餘割函數) 及其性質;
  • 【B 級】分段函數、反函數、等差數列、等差數列前 n 項和、等比數列和等比數列前 n 項和;
  • 【C 級】函數的極值和帶有絕對值的函數;
  • 【D 級】有理函數及其性質、冪函數及其性質、指數函數及其性質、對數函數及其性質、常用三角函數 (正弦函數、餘弦函數和正切函數) 及其性質和常用三角函數 (反正弦函數、反餘弦函數和反正切函數) 及其性質;

2.4 等式與不等式

  • 【A 級】方程式、方程組、不等式、帶括號的運算式、一元 n 次方程式、n 元一次方程式、n 元一次不等式組和柯西 - 施瓦茨不等式;
  • 【B 級】n 元一次方程式組的解、不等式組的解、分式方程式、因式分解和公因數的提取;
  • 【C 級】整式的運算、一元一次方程式的解、二元一次方程式組的解、一元二次方程式的解、一元一次不等式的解和一元二次不等式的解;
  • 【D 級】不等式的性質、等式的性質、均值不等式和絕對值不等式;

2.5 幾何

  • 【A 級】點、線、面、體、平面圖形、立體圖形、角度、圖形的平移與旋轉、座標與數對、象限、對稱、中心對稱、圖形的相似、矩形、正方形、菱形、梯形、扇形、視圖、投影、相似三角形、全等三角形、空間集合體 (柱體、椎體、台體、球體)及其表面積和體積、傾斜角和斜率、卦限、角的弧度表示、二維向量、三維向量、向量的模長和法向量;
  • 【B 級】中點、函數的切線、函數的法線、直線相交、直線的平行、三角形及其性質、多邊形及其性質、等腰三角形及其性質、等邊三角形及其性質、空間中點、直線和平面的相互關係、歪斜線及其夾角、二面角、直線與直線的交點、平行直線之間的距離、直線與圓的關係、空間中的兩點距離、向量的基本運算、正弦定理、餘弦定理、中心在原點的橢圓及其基本性質、中心在原點的雙曲線及其基本性質和中心在拋物線的橢圓及其基本性質;
  • 【C 級】點的距離、垂直、點到直線的距離、三維笛卡爾座標系、直角三角形及其性質、圓及其性質、勾股定理、空間中直線與直線平行的判定和性質、直線與平面平行的判定和性質、平面與平面平行的判定和性質、平面直角坐標系中的直線和直線方程、向量的數量積、三角函數誘導公式、三角函數的兩角和差恆等式、三角函數積化和差恆等式和三角函數、差化積恆等式、三角函數的倍角恆等式、哥斯拉三角恆等式、三角函數的對稱恆等式和三角函數的位移恆等式;
  • 【D 級】數線、二維 (平面) 笛卡爾座標系、正弦、餘弦和正切;

3. 集合論補充

在開始數學分析的文章之前, 我們要對中學的集合輪進行一些補充.

設集合 S 是由某種性質 P 的元素構成的集合, 則 S 通常可以表示為 \displaystyle {S = \left \{ \left . x \right | x \ 具有性質\  P\right \}} 這種形式. 現在, 我們引入一種新的記法 :\displaystyle {S = \left \{x : x \ 具有性質\  P\right \}} 在接下來的文章中, 我將採取第二種方式進行描述.

集合的交、並、差和余 (補) 運算分別定義為

\displaystyle {A \cup B = A + B = \left \{x : x \in A \ \text {或}\ x \in B \right \}}

\displaystyle {A \cap B = A \times B = \left \{x : x \in A \ \text {且}\ x \in B \right \}}

\displaystyle {A - B = A \setminus B = \left \{x : x \in A \ \text {且}\ x \notin B \right \}}

\displaystyle {A^{C} = \complement _{S}A = \left \{x : x\notin A \right \}}

我們稱函數 \displaystyle {\mu_{S}(x)=\begin {cases} 1 & {x \in A} \\ 0 & {x \notin A} \end {cases}} 為集合 S 的特徵函數.