對於某一集合中的任一數, 使用 x 來表示這個數, 於是 x 是集合中的數的標準記號. 數 x 的集合本身用 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 表示

如果對於所考慮的集合 \left \{ x \right \} 存在有這樣的數 M, 使得對於一切的 x \in \mathscr{X} 都有 x \leq M, 我們便稱這個集合 \left \{ x \right \} 是 (由數 M 限制) 上有界的. 在這樣的情況下, 數 M 本身是集合 \left \{ x \right \} 的一個上界. 與之類似, 如果能找到這樣的數 m, 使得對於一切的 x \in \mathscr{X} 都有 x \geq m, 則稱集合 \left \{ x \right \} 是 (由數 m 限制) 下有界的. 而數 m 本身稱為集合 \left \{ x \right \} 的一個下界

上有界的集合可以同時是下有界的, 也可以不是下有界的; 同樣地, 下有界的集合可以同時是上有界的, 也可以不是上有界的

若一個集合不是上有界的, 則取 "廣義的數" + \infty 作為它的上界; 若一個集合不是下有界的, 則取 "廣義的數" - \infty 作為它的下界. 記號 + \infty- \infty 分別讀作 "正無窮大" 與 "負無窮大". 對於這兩個 "廣義的" 或 "無窮大" 的數, 我們算作

- \infty < + \infty 與 - \infty < \alpha < + \infty

不論 \alpha 是一個怎樣的 ("有限的") 實數

如果一個集合是上有界的集合, 就是說, 有著有限的上界 M, 則它同時也有著無窮多個上界 (因為任何一個大於 M 的數也都是它的上界). 在所有上界中, 我們稱最小的一個數為上確界; 同樣地, 若一個集合是下有界的, 那麼稱所有下界中最大者為下確界

那麼對於一個上 (下) 有界的集合是否總存在有上 (下) 確界呢? 實際上, 因為在這種情況下, 所有上界 (下界) 形成了一個無窮集合, 而在數的無窮集合中, 未必總是存在最大的數或著最小的數. 因此, 這種數的存在性需要加以證明 :

定理 : 如果集合 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 是上 (下) 有界的, 那麼它一定有上 (下) 確界

證明 :

這個定理的嚴格證明只有確定了實數概念之後才能有, 因此只能進行論述. 我們就上確界來進行論述. 考慮下面兩種情況 :

  1. 首先假定在集合 \mathscr{X} 的數 x 中可以找到最大的數 \bar{x}. 於是集合中的所有數都要滿足不等式 x \leq \bar{x}, 就是說, \bar{x}\mathscr{X} 的上界. 另一方面, \bar{x} \in \mathscr{X}; 因此, 對於任何上界 M, 不等式 \bar{x} \leq M 成立. 由此肯定, \bar{x} 是集合 \mathscr{X} 的上確界
  2. 現在設集合 \mathscr{X} 的數 x 中沒有最大的數. 我們用下面的方法作出全部實數區域中的分割, 把集合 \mathscr{X} 的一切上界 {\alpha}' 歸入上類 {A}', 而把其餘一切的實數 \alpha 歸入下類 A. 在這個方法下集合 \mathscr{X} 所有數 x 都落在 A 類. 因為由假設, 其中任何一個數都不是最大的. 可見 A{A}' 兩類都不是空的. 這個分法實際上是一個分割, 因為全部實數都分布在這兩類中, 並且 {A}' 類中的每個數都大於 A 中的任何數. 根據 \mathbf{Dedekind} 基本定理, 一定有一個作成這個分割的實數 \beta 存在. 屬於 A 類的一切數 x 不能超過這個 "界數" \beta, 就是說, \beta 是對於 x 的一個上界. 因此, \beta 本身屬於 {A}' 類並且是 {A}' 類中最小的數. 由此可見, 作一切上界中最小者的數 \beta, 就是所要求的集合 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 的上確界

上確界的存在性論述畢

關於下確界的存在性, 使用同樣的方法類似可論述

論述畢

M^{*} 是數集合 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 的上確界, 則對於一切的 x

x \leq M^{*}

現任取一個小於 M^{*} 的數 \alpha. 因為 M^{*} 是上界中的最小者, 所以數 \alpha 一定不是集合 \mathscr{X} 的上界, 就是說, 可在 \mathscr{X} 中找到這樣的數 {x}', 使得

{x}' > \alpha

集合 \mathscr{X} 的上確界 M^{*} 的特徵完全由這兩個不等式表達出來

同樣地, 集合 \mathscr{X} 的下確界 m^{*} 的特徵可如下描述 : 對於一切的 x

x \geq m^{*}

並且不論 \beta 是怎樣的一個大於 m^{*} 的數, 總可在 \mathscr{X} 中找到這樣的數 {x}'', 使得

{x}'' < \beta

關於數集合 \mathscr{X} 的上確界 M^{*} 與下確界 m^{*} 的記法, 我們採用符號

M^{*} = \sup{\mathscr{X}} = \sup{\left \{ x \right \}}, \ \ \ \ \  m^{*} = \inf{\mathscr{X}} = \inf{\left \{ x \right \}}

其中, \sup 為拉丁語中的 supremum (最高的), inf 為拉丁語中的 infimum (最低的)

我們描述一個明顯的斷言 : 若一集合的全部數 x 滿足不等式 x \leq M, 則

\sup{\left \{ x \right \}} \leq M

若一集合的全部數 x 滿足不等式 x \geq m, 則

\inf{\left \{ x \right \}} \geq m

事實上, M 是所有上界中的一個, 所以一切上界中的最小者不能超過 M; m 是所有下界中的一個, 一切下界中的最大者不得小於 m

如果一個集合既是上有界的, 同時也是下有界的, 那麼說這個集合是有界的

最後, 我們規定, 如果集合 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 不是上有界的, 則稱它的上確界為 + \infty, 即

\sup{\mathscr{X}} = \sup{\left \{ x \right \}} = + \infty

同樣地, 如果集合 \mathscr{X} = \left \{ x \right \} 不是下有界的, 則稱它的下確界為 - \infty, 即

\sup{\mathscr{X}} = \sup{\left \{ x \right \}} = - \infty