在考慮有理數集合中的分割時, 我們已經發現, 有時會存在一種分割, 使得在這集合中沒有產生這個分割的界數. 正是有理數集合在其內留有這種空隙的不完備性, 為引入新的數 — 無理數 提供了根據. 我們現在開始討論全部實數集合中的分割

在這種分割下, 我們把這種集合分成兩個非空的並且具備下列性質的集合 A, {A}' :

  1. 每一個實數在且唯在集合 A{A}' 中的一個
  2. 集合 A 中每一個數 \alpha 小於集合 {A}' 中每一個數 {\alpha}'

於是發生了一個問題 : 對於這種分割來說, 究竟在實數集合中總可以找到產生這種分割的界數, 或著說實數集合中是否還存在有空隙 (這種空隙的存在, 能否作為再引入新的數的根據) ?

\mathbf{Dedekind} 基本定理 : 對於實數集合中任何的分割 A \mid {A}', 存在由產生這個分割的實數 \beta, 這個數 \beta :

1). 或著是下類 A 中的最大數

2). 或著是上類 {A}' 中的最小數

證明 :

Q 表示所有屬於 A 的有理數的集合, 而用 {Q}' 表示所有屬於 {A}' 的有理數的集合. 不難證實, 集合 Q{Q}' 作為全部有理數集合的一個分割

這個分割 Q \mid {Q}' 定義了某個實數 \beta, 它應該落在 A, {A}' 兩類之一. 不妨假定, \beta 落在下類 A 中. 此時, 我們要證實情況 1) 要實現, 即 \betaA 中最大的數. 事實上, 如若不然, 則可以找到一個比 \beta 大的數 \alpha_{0}. 於是根據引理 1, 我們可以在 \alpha_{0}\beta 之間插入一個有理數 r :

\beta < r < \alpha_{0}

 r 屬於 A 類, 因而也屬於 Q 類. 此時, 在定義數 \beta 的分割下類中會有有理數 r, r > \beta. 這與之前的論述相矛盾

\beta 落在上類 A 中的情況同樣類似可證. 因此 \mathbf{Dedekind} 基本定理成立

證畢

實數集合的這個性質叫做實數的完備性, 也成為實數的連續性接密性

在有理數的論述過程中, 我們已經證明不存在上類中有最小的數而同時下類中有最大的數的情形. 使用同樣的方法, 可以證明實數的分割也不存在這樣的情況

\mathbf{Dedekind} 基本定理把實數集合和有理數集合從本質上區別開來