在上一篇文章中, 我們將無理數加入了進來, 擴充了實數, 這一篇文章中, 我們將實數集合有序化

由兩個分割 A \mid {A}' 與 B \mid {B}' 分別定義了兩個無理數 \alpha\beta. 若且唯若這兩個分割相同時, 即 A = B{A}' = {B}' 時, 才有 \alpha = \beta. 實際上, 根據分割的性質, 只要有 AB 兩個下類相同, 那麼就有 \alpha = \beta. 此時, 必定有 {A}'{B}' 兩個上類也相同. 反之同樣成立

上述定義中, 若 \alpha\beta 是有理數時, 同樣成立

現在, 我們重新建立關於實數的 "大於" 的定義. 設分割 A \mid {A}' 定義無理數 \alpha, 分割 B \mid {B}' 定義無理數 \beta. 我們把具有較大下類的那個數算作較大的. 確切地說, \alpha > \beta 若且唯若 A 類完全完全包含 B 類相同 (即集合 B 是集合 A 的真子集, B \subsetneq A) 或 {B}' 完全包含 {A}' 類且不與 {A}' 類相同

"小於" 的定義可以當作 "大於" 的衍生 : 若且唯若 \beta > \alpha 時, 有 \alpha < \beta

由這些定義, 我們可以推斷 : 任意兩個實數 \alpha\beta 之間, 有且唯有下列三種關係 :

\alpha = \beta, \ \ \ \alpha < \beta, \ \ \ \alpha > \beta

之前, 我們曾經使用過形如 "\leq" 或著 "\geq" 這樣的記號, 這是指小於 (大於) 或著等於其中某一個關係成立

若有 \alpha > \beta, \ \beta > \gamma, 那麼有 \alpha > \gamma; 反之也有, 若有 \alpha < \beta, \ \beta < \gamma, 那麼有 \alpha < \gamma

根據上述引入的定義, 我們再引入兩個輔助性的引理 :

引理 1. 不論 \alpha\beta 是兩個怎樣的實數, 若有 \alpha > \beta, 則總可以找到一個實數 r (r 甚至可以是有理數), 使得 r 介於 \alpha 與 \beta 之間, 即 \alpha > r > \beta

證明 :

由於 \alpha > \beta, 由 "大於" 的定義可知, 數 \alpha 的分割下類 A 包含了數 \beta 分割的下類 B, 並且 B \neq A. 所以在 A 類中可以找到一個不屬於 B 的有理數 r, 由分割的性質可知 r \in {B}'. 此時對於 r, 有

\alpha > r \geq \beta

若且唯若 \beta 是有理數時, 等號才可能成立. 但在 A 中並沒有最大的數, 若有

\alpha > r \geq \beta, \ \ \ r = \beta

成立時, 適當地加大 r, 取 {r}' > r\alpha > {r}' 時, 可以取消等號

引理證畢

引理 2. 設 \alpha 與 \beta 是兩個給定的實數, 對於任意給定的 \varepsilon > 0, 總能使 \alpha\beta 夾在同樣兩個有理數的中間 :

{s}' \geq \alpha \geq s,\ \ \ {s}' \geq \beta \geq s,

其中,

{s}' - s < \varepsilon,

則數 \alpha 與 \beta 必定相等

證明 :

不妨設 \alpha > \beta. 由引理 1 可知, 在 \alpha\beta 之間可以插入任意多個有理數, 選取有理數 r{r}', 其中 r < {r}', 那麼有

\alpha > {r}' > r > \beta

對於任意兩個數 s{s}', 其中 {s}' > s, 若有

{s}' \geq \alpha \geq s, \ \ \ {s}' \geq \beta \geq s

那麼也有 {s}' \geq \alpha \geq \beta \geq s, 加入 r{r}', 有

{s}' \geq \alpha > {r}' > r > \beta \geq s

{s}' \geq {r}' > r > s, 亦即

{s}' - s > {r}' - r > 0

\varepsilon = {r}' - r, 於是 {s}' - s > \varepsilon. 這與結論相矛盾, 因此假設不成立

定理證畢

我們考慮實數的一種表示方法, 使得分數部分 (即尾數部分) 是正的, 整數部分可正可負, 也可為零

我們首先假定, 所考慮的實數 \alpha 既非整數, 也不是任何有限十進制小數. 現在求其十進制小數的近似值. 設分割 A \mid {A}' 定義數 \alpha, 那麼可以看出, 在 A 類中可以找到一個整數 m, 而在 {A}' 類中可以找到一整數 M, 使得

m < \alpha < M

m 逐次加 1, 我們一定可以得到這樣一對相鄰的整數 CC + 1, 使得

C < \alpha < C + 1

成立. 其中, C 可以是正的、負的或著零

其次, 再將 CC + 1 之間的數使用

C.1, C.2, ..., C.9

分為十個相等的部分, 則數 \alpha 落且唯落在其中一個部分內. 於是, 我們得到兩個相差 \frac{1}{10} 的數 C.c_{1}C.c_{1} + \frac{1}{10}, 使得

C.c_{1} < \alpha < C.c_{1} + \frac{1}{10}

不斷重複上述步驟, 在確定了 n - 1 個數字 c_{1}, c_{2}, ..., c_{n - 1} 以後, 我們使用不等式

C.c_{1}c_{2}...c_{n} < \alpha < C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac{1}{10^{n}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (I)

來確定第 n 個數字 c_{n}

\alpha 為非負無理數, 則稱有理數

x_{n}^{-} = C.c_{1}c_{2}...c_{n}

\alphan 位不足近似, 稱有理數

x_{n}^{+} = C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac{1}{10^{n}}

\alphan 位過剩近似. 其中, x_{n}^{-} < \alpha < x_{n}^{+}

\alpha 為非正無理數, 則稱有理數

x_{n}^{-} = C.c_{1}c_{2}...c_{n} - \frac{1}{10^{n}}

\alphan 位不足近似, 稱有理數

x_{n}^{+} = C.c_{1}c_{2}...c_{n}

\alphan 位過剩近似. 其中, x_{n}^{-} < \alpha < x_{n}^{+}

從上述定義容易知道, 不足近似 x_{n}^{-}n 增大而增大, 過剩近似 x_{n}^{+}n 增大而減小, 即有

x_{0}^{-} < x_{1}^{-} < x_{2}^{-} < ... < x_{n}^{-} < ... < \alpha < ... < x_{n}^{+} < ... < x_{2}^{+} < x_{1}^{+} < x_{0}^{+}

例外的是, 當數 \alpha 本身就是整數或著有限十進制小數時, 也可以用類似的方法依次地來確定數字 C 與數字 c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}, ..., 只不過是比 (I) 式更一般的關係不等式

C.c_{1}c_{2}...c_{n} \leq \alpha \leq C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac{1}{10^{n}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (II)

出發而已. 此時由不足近似與過剩近似的定義可知, 有

x_{0}^{-} \leq x_{1}^{-} \leq x_{2}^{-} \leq ... \leq x_{n}^{-} \leq ... \leq \alpha \leq ... \leq x_{n}^{+} \leq ... \leq x_{2}^{+} \leq x_{1}^{+} \leq x_{0}^{+}

某些時候, 數 \alpha 確實會和包含它的區間的一個端點重合, 此時 (II) 式其中一側就會出現等式

對於任意一個有限十進制小數 C.c_{1}c_{2}...c_{n}, 其中 c_{n} \neq 0. 令 k = c_{n} - 1, 有

C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}k99...9... \leq C.c_{1}c_{2}...c_{n} \leq C.c_{1}c_{2}...c_{n}00...0...

顯然, 不等式左端的等號當左側數的尾數有限時, 等號並不成立. 而對於不等式右端, 等號總是成立. 不妨想像, 當不等式左側數的尾數是無限個的話, 將會有怎樣的情況呢?

我們定義, 數 \alpha = C.c_{1}c_{2}...c_{n} 除了其本身的表示法之外, 還有兩種表示法 :

  1. 零循環表示法 : C.c_{1}c_{2}...c_{n}00...0...
  2. 9 循環表示法 : C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}k99...9..., 其中 k = c_{n} - 1

於是有

\alpha = C.c_{1}c_{2}...c_{n} = C.c_{1}c_{2}...c_{n}00...0... = C.c_{1}c_{2}...c_{n - 1}k99...9...

\alpha < 0, 還有另外一種表示法. 設數 \alpha = -C.c_{1}c_{2}...c_{n}, 此處 C > 0, 於是有

\alpha = -C.c_{1}c_{2}...c_{n} = \overline{B}.b_{1}b_{2}...b_{n} = \overline{B}.b_{1}b_{2}...b_{n} = \overline{B}.b_{1}b_{2}...b_{n - 1}k99...9...

其中, k = b_{n} - 1 且數值上有 B.b_{1}b_{2}...b_{n} = 1 - \alpha

對於正整數 N, 有

N = N.00...0... = M.99...9...

-N = -N.00...0... = -M.99...9.. = \overline{K}.00...0... = \overline{N}.99...9...

其中, M = N - 1, K = N + 1

對於 9 循環表示法, 大家可能覺得疑惑, 但是這並不與嚴格的數學矛盾. 因為在實際生活中並不存在使用尾數無限的數字的情況, 這種數字只在理論上存在. 之後在學習極限理論之後, 我們還可以使用極限的單調收斂定理來證明它們是相等的

對於既非整數也非有限十進制小數的實數 \alpha, 其不足近似值於過剩近似值

C.c_{1}c_{2}...c_{n}C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac{1}{10^{n}}

之間的差為 \frac{1}{10^{n}}. 這個差數隨著 n 的增大可以小於任意給定的正數 \varepsilon. 事實上, 不超過 \frac{1}{\varepsilon} 的正整數僅存在著有限多個. 因此對於不等式

\frac{1}{10^{n}} \geq \varepsilon \ \ \ \ \  \Rightarrow \ \ \ \ \  \frac{1}{\varepsilon} \geq 10^{n}

只能為有限多個 n 值所滿足, 對於其餘的 n 值, 總有

\frac{1}{10^{n}} < \varepsilon

由上述描述, 再根據引理 2 可得到結論 : 凡是異於 \alpha 的數 \beta 不能像 \alpha 一樣滿足所有不等式 (I)(II). 因而, 其無盡十進制小數表示式不同於 \alpha

由此可見, 在特別的情形下, 不等於任何有限十進制小數的數, 其表示式既不能由 0 作為循環節, 也不能用 9 作為循環節, 因為每一個以 0 或著 9 作為循環節的小數顯然地表示一個有限十進制小數

如果任取一個無盡小數 C.c_{1}c_{2}...c_{n}..., 則存在一個實數 \alpha, 使得小數 C.c_{1}c_{2}...c_{n}... 就是 \alpha 的表示. 顯然, 這個 \alpha 滿足所有的不等式 (II). 為了這個目的, 我們引入簡短的記號

C_{n} = C.c_{1}c_{2}...c_{n}{C_{n}}' = C.c_{1}c_{2}...c_{n} + \frac{1}{10^{n}}

我們注意到, 對於任意 C_{n}, 都有 C_{n} < {C_{m}}' (不僅當 m = n 時成立, 而且當 m \gtrless n 時同樣成立, 符號 m \gtrless n 表示 m > nm < n). 我們現在在有理數數體中做一個分割 : 凡是大於所有 C_{n} 的有理數 {a}' (例如所有 {C_{m}}') 都放入上類 {A}' 中, 其餘一切的有理數 (例如 C_{n} 自身) 都放入下類 A 中. 不難驗證, 這個分割 A \mid {A}' 定義了實數 \alpha

事實上, 因為 \alpha 是夾在兩類中間的界數, 所以也就有

C_{n} \leq \alpha \leq {C_{n}}'

從此, 我們可以將任意實數都看作無限十進制小數. 從中學中, 我們已經學過使用有理數表示循環的無盡小數; 反之, 每一個有理數可以分解為循環小數. 由此可見, 不循環的無盡小數是用我們新引入的無理數表示. 這種表示法也可以作為無理數理論構造的出發點

以後, 我們可以利用有理數 a{a}' 來逼近實數 \alpha :

a < \alpha < {a}'

其中, {a}' - a 的值可以小於任意給定的實數 \varepsilon > 0. 就有理數 \alpha 而言, 數 a{a}' 顯然是存在的; 對於無理數 \alpha, 我們可以採用 n 足夠大時的十進制小數近似值 C_{n}{C_{n}}' 作為 a{a}'