1. 實數集合及其有序化

早在中學數學中, 我們已經接觸過了實數, 這其中包含了有理數和無理數. 相信很多人一開始接觸無理數都是從 \sqrt{2} 開始的, 而它是源於方程式 x^{2} = 2. 形如 x^{2} = 2 這樣的方程式, 如果不引入無理數, 這樣簡單的方程式將無解. 而事實上, 很多有理數甚至正整數都沒有根. 還是拿 \sqrt{2} 來說, 沒有任何有理數的平方可以等於 2. 這是可以證明的 :

例題  1. 證明 : 沒有任何有理數的平方等於 2

證明 :

不妨設存在某個有理數的平方等於 2, 由於任何有理數都可以表示分數的形式, 不妨使用 \frac{p}{q} 來表示這個數字, 即有

(\frac{p}{q})^{2} = 2

並且我們設定 \frac{p}{q} 是既約的 (無法再約分), 於是有

p^{2}=2q^{2}\ \ \ \ \ \ (I)

\frac{p}{q} 是既約的可知, pq 都是整數, 因此由上式可知 p 是偶數. 不妨設整數 r 滿足

p = 2r

將上式帶入 (I) 式中可得

4r^{2} = 2q^{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ q^{2} = 2r^{2}

這說明 q 也是偶數, 而 \frac{p}{q} 是既約的, 因此 q 不可能是偶數. 這存在矛盾, 因此假設不成立, 即沒有任何有理數的平方等於 2

斷言證畢

對於集合 S, 若 S 中的任意兩個數的加、減、乘和除 (除數不為 0) 的結果仍然屬於集合 S, 那麼稱集合 S 是一個數體. 同時, 也說數集 S 的四則運算是封閉的. 常見的數體有 :

  • 有理數 \mathbb{Q}
  • 實數  \mathbb{R}
  • 複數 \mathbb{C}

除上述之外, 還有一些數集具有自己的符號

  • 自然數 \mathbb{N}
  • 整數 \mathbb{Z}

實際上, 就算是沒有方程式, 不引入無理數也是不行的, 否則在幾何上, 不是任何線段都是有長度的. 顯然地, 對於一個邊長為 1 的正方形, 其對角線的長度就不是有理數, 如果不引入無理數, 那麼這條線段的長度是不存在的, 畢氏定理就無法成立. 因此, 擴張有理數的數體, 將具有新的性質的數字, 即無理數, 引入到數體中就成了必要

在將無理數加入到數體之前, 我們首先對有理數的數體進行分割. 對數體分割之後, 可以得到兩個集合, 不妨記為 A{A}', 要求分割後得到的兩個數集滿足 :

  1. 分割後的兩個子集合不應為空, 即每個集合中至少有一個數
  2. 每一個有理數在且唯在其中一個集合中, 即不能存在有理數被遺漏
  3. 任取 a \in A, {a}' \in {A}', 必有 a < {a}'

稱集合 A 為分割的上類, 集合 {A}' 為分割的下類. 使用 A\mid {A}' 來表示一個分割

由分割的要求可知,任取 a \in A, 凡是小於 a 的有理數必定屬於下類; 任取 {a}' \in {A}', 凡是大於 {a}' 的有理數必定屬於上類

任取有理數 \xi, 把 A 定義為所有一切滿足不等式 a < \xi 的數集, 把 {A}' 定義為所有一切滿足不等式 {a}' \geq \xi 的數集, 即

A = \left \{a : a < \xi\right \}, \ {A}' = \left \{{a}' : {a}' \geq \xi\right \}

根據之前對於分割的敘述, 不難證實, 我們得到了一個分割 A\mid {A}'. 數 \xi 屬於 {A}', 且 \xi 是 {A}' 中最小的數; 另一方面, 數集 A 中沒有最大的數

任取有理數 \xi, 把 A 定義為所有一切滿足不等式 a \leq \xi 的數集, 把 {A}' 定義為所有一切滿足不等式 {a}' > \xi 的數集, 即

A = \left \{a : a \leq \xi\right \}, \ {A}' = \left \{{a}' : {a}' > \xi\right \}

不難證實, 我們又得到了一個分割 A\mid {A}'. 數 \xi 屬於 A, 且 \xi 是 A 中最大的數; 另一方面, 數集 {A}' 中沒有最小的數

將一切使 a^{2} < 2 的正有理數a、零及所有負有理數都歸入 A 類, 而把一切使 a^{2} > 2 的正有理數 {a}' 都歸入 {A}'

於是, 我們又得到了一個分割 A\mid {A}', 不過這個分割和之前的分割有些不同. 此時 A 中沒有最大的數, {A}' 中沒有最小的數. 這個斷言我們可以加以證明 :

證明 :

我們取斷言的前半部分來證明, 後半部分類似可證. 任取 a \in A a > 0, 那麼存在 n \in \mathbb{Z}^{+}, 使得

(a + \frac{1}{n})^{2} < 2

a + \frac{1}{n} \in A, 將平方展開可得

a^{2} + \frac{2a}{n} + \frac{1}{n ^ {2}} < 2

移項得

\frac{2a}{n} + \frac{1}{n^{2}} < 2 - a^{2}

由於 n \in \mathbb{Z}^{+}, 因此 0 < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^{2}}, 那麼有

\frac{2a}{n} + \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{2a}{n} + \frac{1}{n}

若有 \frac{2a}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2a + 1}{n} < 2 - a^{2}, 則必定有 \frac{2a}{n} + \frac{1}{n^{2}} < 2 - a ^{2} 成立, 即有 (a + \frac{1}{n})^{2} < 2 成立. 那麼只要 n 滿足

n > \frac{2a + 1}{2 - a^{2}}

於是就有 (a + \frac{1}{n})^{2} < 2 成立. 由此可見, 不論 aA 類中怎樣的一個正數, 在 A 類中總可以找到一個大於 a 的數

a \leq 0 時, 斷言顯然成立. 因此斷言成立, 即 A 中沒有最大的數, 同時 {A}' 中沒有最小的數

斷言證畢

現在我們考慮另外一種情況, 要在下類中有最大的數 a_{0}, 而同時在上類中又有最小的數 {a}'_{0}. 若這種分割存在, 我們就任取一個有理數 c 滿足 a_{0} < c < {a}'_{0}. 那麼數 c 不屬於 A 類, 因為 A 類中已經有最大的數了; 另一方面, 數 c 也不能屬於 {A}' 類, 因為 {A}' 中已經有最小的數了. 而分割要求每一個有理數在且唯在其中一個集合中, 這與分割的性質矛盾, 因此這種分割是不存在的

由上述討論可知, 分割之存在三種情況 :

  1. 在下類 A 中沒有最大的數, 而在上類 {A}' 中有最小的數 r
  2. 在下類 A 中有最大的數 r, 而在上類 {A}' 中沒有最小的數
  3. 在下類 A 中沒有最大的數, 同時在上類 {A}' 中沒有最小的數

情況 1^{\circ} 和情況 2^{\circ} 下, 分割產生了有理數 r, 我們稱有理數 rA{A}' 兩類中間的界數. 又或著說, 這種分割定義了一個有理數 r. 但是在情況 3^{\circ} 下, 界數並不存在, 或著說分割並不能定義任何有理數. 因此, 我們現在根據需要, 引入新的對象, 即無理數. 我們規定, 任何屬於情況 3^{\circ} 的分割定義了某一個無理數 \alpha, 這個  \alpha 就是情況 3^{\circ} 的界數

聯想中學所學的知識, 不難推想這個界數就是 \sqrt{2}

無理數並沒有記號, 或者你可以将其写成 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, 所有無理數的集合並不是一個數體, 也就是說無理數的四則運算是不是封閉的. 這很好理解, 例如\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0, 如果說無理數是一個數體, 那麼上述運算的結果就不應該是一個有理數 0, 而是某個無理數

由於分割的界數可以任意歸入上類或著下類, 而為了方便起見, 若之後《數學分析》系列的文章用到了分割這個概念, 那麼預設將界數歸入到上類中

有理數和無理數統稱為實數. 就如我們之前所介紹的一樣, 實數 \mathbb{R} 是一個數體. 實數是整個數學分析中最基本的概念之一, 一般地說, 實數也是整個數學中最基本的概念之一